Calcule:
\int(3 v^{5}-v^{\frac{5}{3}}) d v

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\displaystyle \int\bigl(3v^{5}-v^{\tfrac{5}{3}}\bigr)\,dv.
O conteúdo principal é a regra de potência para integrais:
\int v^n\,dv = \frac{v^{\,n+1}}{n+1} + C.

Passo 2

Separamos a integral em duas partes:
\int\bigl(3v^{5}-v^{\tfrac{5}{3}}\bigr)\,dv =\int 3v^{5}\,dv \;-\;\int v^{\tfrac{5}{3}}\,dv.

Passo 3

Aplicamos a regra de potência em cada parcela:
Para \displaystyle \int 3v^{5}\,dv, tiramos a constante 3 e usamos
\displaystyle \int v^5\,dv = \frac{v^6}{6}.
Logo,
\int 3v^{5}\,dv =3 \cdot \frac{v^6}{6} =\frac{v^6}{2}.
Para \displaystyle \int v^{\tfrac{5}{3}}\,dv, temos
\int v^{\tfrac{5}{3}}\,dv =\frac{v^{\tfrac{5}{3}+1}}{\tfrac{5}{3}+1} =\frac{v^{\tfrac{8}{3}}}{\tfrac{8}{3}} =\frac{3}{8}\,v^{\tfrac{8}{3}}.

Passo 4

Juntando os resultados e lembrando do sinal negativo na segunda parcela, obtemos
\int\bigl(3v^{5}-v^{\tfrac{5}{3}}\bigr)\,dv =\frac{v^6}{2}-\frac{3}{8}v^{\tfrac{8}{3}}+C.

Resposta

\frac{v^6}{2}-\frac{3}{8}v^{\tfrac{8}{3}}+C.

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