Calcule:
\int(\cos \operatorname{sec} v \cdot \cot v \cdot \operatorname{sec} v) d v

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int\bigl(\cos v\;\operatorname{sec} v\;\cot v\;\operatorname{sec} v\bigr)\,dv.
Estamos lidando com um produto de funções trigonométricas e vamos usar as identidades
\operatorname{sec} v = \frac1{\cos v} e \cot v = \frac{\cos v}{\sin v}
para simplificar o integrando. Em seguida, aplicaremos a fórmula da integral de \csc v.

Passo 2

Começamos escrevendo o integrando em detalhe:
\cos v\;\operatorname{sec} v\;\cot v\;\operatorname{sec} v.
Como \operatorname{sec} v=1/\cos v, temos
\cos v\cdot\operatorname{sec} v = \cos v\cdot\frac1{\cos v} = 1.
Logo o integrando se reduz a
\cot v\;\operatorname{sec} v.

Passo 3

Agora usamos \cot v=\frac{\cos v}{\sin v} e \operatorname{sec} v=\frac1{\cos v}, então
\cot v\;\operatorname{sec} v =\frac{\cos v}{\sin v}\;\cdot\frac1{\cos v} =\frac1{\sin v} =\csc v.
Portanto
\int\bigl(\cos v\;\operatorname{sec} v\;\cot v\;\operatorname{sec} v\bigr)\,dv =\int \csc v\,dv.

Passo 4

Lembramos que
\int \csc v\,dv =\ln\Bigl|\tan\frac v2\Bigr|+C \quad\text{(ou, equivalentemente, }-\ln|\csc v+\cot v|+C\text{).}

Resposta

\ln\Bigl|\tan\frac v2\Bigr|+C

Exercícios relacionados