Calcule:
\int(2 v^{\frac{5}{4}}+6 v^{\frac{1}{4}}+3 v^{-4}) d v

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \int\bigl(2\,v^{5/4}+6\,v^{1/4}+3\,v^{-4}\bigr)\,dv.
O conteúdo é integração de potências de v, usando a regra
\int v^n\,dv = \frac{v^{n+1}}{n+1} + C.

Passo 2

Separamos a integral em três integrais mais simples:
\int 2\,v^{5/4}\,dv \;+\; \int 6\,v^{1/4}\,dv \;+\; \int 3\,v^{-4}\,dv.

Passo 3

Para \displaystyle \int 2\,v^{5/4}\,dv:
\int 2\,v^{5/4}\,dv = 2 \,\frac{v^{5/4+1}}{5/4+1} = 2\,\frac{v^{9/4}}{9/4} = \frac{8}{9}\,v^{9/4}.

Passo 4

Para \displaystyle \int 6\,v^{1/4}\,dv:
\int 6\,v^{1/4}\,dv = 6 \,\frac{v^{1/4+1}}{1/4+1} = 6\,\frac{v^{5/4}}{5/4} = \frac{24}{5}\,v^{5/4}.

Passo 5

Para \displaystyle \int 3\,v^{-4}\,dv:
\int 3\,v^{-4}\,dv = 3 \,\frac{v^{-4+1}}{-4+1} = 3\,\frac{v^{-3}}{-3} = -\,v^{-3}.

Resposta

\int\bigl(2\,v^{5/4}+6\,v^{1/4}+3\,v^{-4}\bigr)\,dv = \frac{8}{9}\,v^{9/4} \;+\;\frac{24}{5}\,v^{5/4}\;-\;v^{-3} + C.

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