Aqui temos g_{1}(t)=t e^{t^{2}} e g_{2}(t)=t\sin t. Vamos calcular cada integral definida separadamente e depois montar o vetor resultado.
Passo 3
Cálculo da componente i: \displaystyle \int_{1}^{2} t e^{t^{2}}\,dt.
Técnica: substituição simples. Regra da substituição (explicação): se definimos u=\varphi(t) e du=\varphi'(t)\,dt, podemos trocar a variável de integração seguindo dt=du/\varphi'(t). Aqui escolhemos
u=t^{2}\quad\Rightarrow\quad du=2t\,dt.
Logo t\,dt=\dfrac{1}{2}\,du. Substituindo na integral obtemos
\int t e^{t^{2}}\,dt=\int e^{u}\cdot \frac{1}{2}\,du=\frac{1}{2}e^{u}+C=\frac{1}{2}e^{t^{2}}+C.
Como é integral definida de 1 a 2, avaliamos a primitiva em 2 e 1:
\int_{1}^{2} t e^{t^{2}}\,dt=\left.\frac{1}{2}e^{t^{2}}\right|_{1}^{2}=\frac{1}{2}\bigl(e^{4}-e^{1}\bigr)=\frac{1}{2}\bigl(e^{4}-e\bigr).
Passo 4
Cálculo da componente j: \displaystyle \int_{1}^{2} t\sin t\,dt.
Técnica: integração por partes. Fórmula e explicação: a integração por partes vem da regra do produto na diferenciação. Se escolhermos duas funções u(t) e v(t) com derivadas, então
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Aqui escolhemos (escolha clássica quando aparece t multiplicando função trigonométrica):
u=t\quad\Rightarrow\quad du=dt,
dv=\sin t\,dt\quad\Rightarrow\quad v=\int \sin t\,dt=-\cos t.
Aplicando a fórmula:
\int t\sin t\,dt = u v - \int v\,du = t(-\cos t) - \int (-\cos t)\,dt = -t\cos t + \int \cos t\,dt.
A integral de \cos t é \sin t, então uma primitiva é
Montagem do resultado final componente a componente (explicação curta): juntamos as duas integrais definidas calculadas nos passos anteriores na forma vetorial:
\int_{1}^{2}\vec{g}(t)\,dt = \left(\int_{1}^{2} t e^{t^{2}}\,dt\right)\vec{i} + \left(\int_{1}^{2} t\sin t\,dt\right)\vec{j}.