Calcule \int_{1}^{2} \vec{g}(t) d t onde \vec{g}(t)=t e^{t^{2}} \vec{i}+t \sin (t) \vec{j};

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{2} \vec{g}(t)\,dt
onde a função vetorial é dada por
\vec{g}(t)=t e^{t^{2}}\\ \vec{i}+t\sin(t)\\ \vec{j}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
\text{domínio da integral: } t\in[1,2],í
\vec{g}(t)=\bigl(t e^{t^{2}},\; t\sin t\bigr)
na base \{\vec{i},\vec{j}\}.
A pergunta é: calcular essa integral vetorial definida entre 1 e 2.

Passo 2

Conceito básico que vamos usar (explicação didática): a integral de uma função vetorial é feita componente a componente. Ou seja, se
\vec{g}(t)=g_{1}(t)\,\vec{i}+g_{2}(t)\,\vec{j},
então
\int_{a}^{b}\vec{g}(t)\,dt=\left(\int_{a}^{b}g_{1}(t)\,dt\right)\vec{i}+\left(\int_{a}^{b}g_{2}(t)\,dt\right)\vec{j}.
Aqui temos g_{1}(t)=t e^{t^{2}} e g_{2}(t)=t\sin t. Vamos calcular cada integral definida separadamente e depois montar o vetor resultado.

Passo 3

Cálculo da componente i: \displaystyle \int_{1}^{2} t e^{t^{2}}\,dt.
Técnica: substituição simples. Regra da substituição (explicação): se definimos u=\varphi(t) e du=\varphi'(t)\,dt, podemos trocar a variável de integração seguindo dt=du/\varphi'(t). Aqui escolhemos
u=t^{2}\quad\Rightarrow\quad du=2t\,dt.
Logo t\,dt=\dfrac{1}{2}\,du. Substituindo na integral obtemos
\int t e^{t^{2}}\,dt=\int e^{u}\cdot \frac{1}{2}\,du=\frac{1}{2}e^{u}+C=\frac{1}{2}e^{t^{2}}+C.
Como é integral definida de 1 a 2, avaliamos a primitiva em 2 e 1:
\int_{1}^{2} t e^{t^{2}}\,dt=\left.\frac{1}{2}e^{t^{2}}\right|_{1}^{2}=\frac{1}{2}\bigl(e^{4}-e^{1}\bigr)=\frac{1}{2}\bigl(e^{4}-e\bigr).

Passo 4

Cálculo da componente j: \displaystyle \int_{1}^{2} t\sin t\,dt.
Técnica: integração por partes. Fórmula e explicação: a integração por partes vem da regra do produto na diferenciação. Se escolhermos duas funções u(t) e v(t) com derivadas, então
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Aqui escolhemos (escolha clássica quando aparece t multiplicando função trigonométrica):
u=t\quad\Rightarrow\quad du=dt,
dv=\sin t\,dt\quad\Rightarrow\quad v=\int \sin t\,dt=-\cos t.
Aplicando a fórmula:
\int t\sin t\,dt = u v - \int v\,du = t(-\cos t) - \int (-\cos t)\,dt = -t\cos t + \int \cos t\,dt.
A integral de \cos t é \sin t, então uma primitiva é
\int t\sin t\,dt = -t\cos t + \sin t + C.
Agora avaliamos de 1 a 2:
\int_{1}^{2} t\sin t\,dt = \left.-t\cos t + \sin t\right|_{1}^{2} = \bigl(-2\cos 2 + \sin 2\bigr) - \bigl(-1\cos 1 + \sin 1\bigr).
Organizando os sinais:
\int_{1}^{2} t\sin t\,dt = -2\cos 2 + \sin 2 + \cos 1 - \sin 1.

Passo 5

Montagem do resultado final componente a componente (explicação curta): juntamos as duas integrais definidas calculadas nos passos anteriores na forma vetorial:
\int_{1}^{2}\vec{g}(t)\,dt = \left(\int_{1}^{2} t e^{t^{2}}\,dt\right)\vec{i} + \left(\int_{1}^{2} t\sin t\,dt\right)\vec{j}.
Substituindo os valores obtidos:
\int_{1}^{2}\vec{g}(t)\,dt = \frac{1}{2}\bigl(e^{4}-e\bigr)\,\vec{i} + \bigl(-2\cos 2 + \sin 2 + \cos 1 - \sin 1\bigr)\,\vec{j}.

Resposta

\frac{1}{2}\bigl(e^{4}-e\bigr)\,\vec{i}+\bigl(-2\cos 2+\sin 2+\cos 1-\sin 1\bigr)\,\vec{j}

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