Determine, caso necessário, as condições sobre
para que o campo
seja irrotacional (
). Assuma
.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede as condições sobre
(com
) para que
.
Informações relevantes: as três componentes de estão explícitas;
depende só de
,
só de
e
só de
. O objetivo é achar condições (equações) que
devem satisfazer para que o rotacional seja o vetor nulo.
Informações relevantes: as três componentes de
Passo 2
Vou usar a definição componente a componente do rotacional. Se
então
Explicando rápido: cada componente do rotacional é a diferença entre duas derivadas parciais cruzadas — isso mede a “rotação local” do campo.
Passo 3
Identifico
a partir do campo:
Agora vou calcular as derivadas parciais que aparecem nas três componentes do rotacional. Lembre-se: ao derivar em relação a uma variável, tratamos as outras como constantes; e
são as derivadas ordinárias (pois
depende só de
, etc.).
Passo 4
Calculo da primeira componente do rotacional:
Logo
Para que essa componente seja zero para todo
precisamos de
Passo 5
Calculo da segunda componente do rotacional:
Logo
Para que essa componente seja zero para todo
precisamos de
Passo 6
Calculo da terceira componente do rotacional:
Logo
Para que essa componente seja zero para todo
precisamos de
Passo 7
Concluindo dos passos anteriores, as condições necessárias e suficientes (já que as equações que obtemos forçam cada componente do rotacional a zero) são
em todo
. Como
, isso implica que
são funções constantes.
Passo 8
Explicando de forma prática: as únicas dependências “livres” nas componentes originais eram as funções univariadas
. A exigência
força que nenhuma dessas funções varie — ou seja, cada uma é uma constante real. Se colocarmos
(com
), então todas as três componentes do rotacional ficam zero conforme calculado acima.