Determine, caso necessário, as condições sobre f(x), g(y), h(z) para que o campo
\mathbf{F}(x, y, z)=(y z+f(z), x z+g(x), x y+h(y))
seja irrotacional ( \nabla \times \mathbf{F}=\mathbf{0} ). Assuma f, g, h \in C^{1}(\mathbb{R}).

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\mathbf{F}(x,y,z) = (y z + f(z),\; x z + g(x),\; x y + h(y))
e pede as condições sobre f, g, h (com f,g,h\in C^1(\mathbb{R})) para que \nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0}.
Informações relevantes: as três componentes de \mathbf{F} estão explícitas; f depende só de z, g só de x e h só de y. O objetivo é achar condições (equações) que f, g, h devem satisfazer para que o rotacional seja o vetor nulo.

Passo 2

Vou usar a definição componente a componente do rotacional. Se \mathbf{F}=(P,Q,R) então
\nabla\times\mathbf{F} = \bigg(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\;\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\;\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\bigg).
Explicando rápido: cada componente do rotacional é a diferença entre duas derivadas parciais cruzadas — isso mede a “rotação local” do campo.

Passo 3

Identifico P,Q,R a partir do campo:
P(x,y,z)=y z + f(z),\qquad Q(x,y,z)=x z + g(x),\qquad R(x,y,z)=x y + h(y).
Agora vou calcular as derivadas parciais que aparecem nas três componentes do rotacional. Lembre-se: ao derivar em relação a uma variável, tratamos as outras como constantes; e f',g',h' são as derivadas ordinárias (pois f depende só de z, etc.).

Passo 4

Calculo da primeira componente do rotacional:
\frac{\partial R}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(x y + h(y)\big)=x + h'(y),
\frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\big(x z + g(x)\big)=x.
Logo
\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}=(x + h'(y)) - x = h'(y).
Para que essa componente seja zero para todo y precisamos de
h'(y)=0\quad\text{para todo }y.

Passo 5

Calculo da segunda componente do rotacional:
\frac{\partial P}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\big(y z + f(z)\big)=y + f'(z),
\frac{\partial R}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(x y + h(y)\big)=y.
Logo
\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}=(y + f'(z)) - y = f'(z).
Para que essa componente seja zero para todo z precisamos de
f'(z)=0\quad\text{para todo }z.

Passo 6

Calculo da terceira componente do rotacional:
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(x z + g(x)\big)=z + g'(x),
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(y z + f(z)\big)=z.
Logo
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=(z + g'(x)) - z = g'(x).
Para que essa componente seja zero para todo x precisamos de
g'(x)=0\quad\text{para todo }x.

Passo 7

Concluindo dos passos anteriores, as condições necessárias e suficientes (já que as equações que obtemos forçam cada componente do rotacional a zero) são
f'(z)=0,\qquad g'(x)=0,\qquad h'(y)=0
em todo \mathbb{R}. Como f,g,h\in C^1(\mathbb{R}), isso implica que f,g,h são funções constantes.

Passo 8

Explicando de forma prática: as únicas dependências “livres” nas componentes originais eram as funções univariadas f(z),g(x),h(y). A exigência \nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0} força que nenhuma dessas funções varie — ou seja, cada uma é uma constante real. Se colocarmos f(z)=C_1,\; g(x)=C_2,\; h(y)=C_3 (com C_1,C_2,C_3\in\mathbb{R}), então todas as três componentes do rotacional ficam zero conforme calculado acima.

Resposta

f'(z)=0,\; g'(x)=0,\; h'(y)=0, ou seja, f,g,h são constantes ( f(z)=C_1,\; g(x)=C_2,\; h(y)=C_3 com C_1,C_2,C_3\in\mathbb{R} ).

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