Seja \varphi(\theta, \rho)=(\rho \cos (\theta), 2 \rho \sin (\theta)) uma aplicação de \mathbb{R}^{2} em \mathbb{R}^{2}. Desenhe o conjunto \varphi(B) onde B=\{(\theta, \rho) \in \mathbb{R}^{2}: 0 \leq \theta \leq 2 \pi, 0 \leq \rho \leq 1\}

Passo 1

O enunciado dá a aplicação \varphi:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 definida por
\varphi(\theta,\rho) = (\rho\cos(\theta),\,2\rho\sin(\theta))
e o conjunto parâmetro
B=\{(\theta,\rho)\in\mathbb{R}^2 : 0\le \theta\le 2\pi,\;0\le \rho\le 1\}.
O que nos pedem: desenhar o conjunto \varphi(B), ou seja, descrever geometricamente a imagem de B por \varphi.
Informações relevantes fornecidas:
  • \theta varia em [0,2\pi] (ângulo completo).
  • \rho varia em [0,1] (raio até 1).
  • As componentes da imagem são x=\rho\cos(\theta) e y=2\rho\sin(\theta).

Passo 2

Entendendo a fórmula: compare com coordenadas polares clássicas. Na polar usual, o ponto com parâmetros (\theta,\rho) corresponde a (\rho\cos\theta,\rho\sin\theta). Aqui temos um pequeno ajuste: a segunda componente foi multiplicada por 2. Ou seja, podemos ver \varphi como a composição de duas aplicações:
P(\theta,\rho) = (\rho\cos\theta,\rho\sin\theta)
(essa leva o retângulo de parâmetros em um disco de raio 1), seguida pelo alongamento vertical
S(x,y) = (x,\,2y).
Logo \varphi = S\circ P. Intuição: primeiro construímos o disco unitário (todos os pontos com \rho\le 1), depois esticamos esse disco na direção y por um fator 2. Esse alongamento transforma círculos em elipses.

Passo 3

Caracterizando a borda (caso \rho=1). Para \rho=1 obtemos a curva
\varphi(\theta,1) = (\cos\theta,\,2\sin\theta),
que é uma parametrização da curva limite. Vamos encontrar uma equação cartesiana dessa curva. Seja (x,y)=\varphi(\theta,\rho). Então
x=\rho\cos\theta,\qquad y=2\rho\sin\theta.
Calcule x^2+\bigl(\tfrac{y}{2}\bigr)^2:
x^2+\bigl(\tfrac{y}{2}\bigr)^2 = (\rho\cos\theta)^2 + (\rho\sin\theta)^2 = \rho^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta) = \rho^2.
Em particular, para \rho=1 temos
x^2+\bigl(\tfrac{y}{2}\bigr)^2 = 1,
que é a equação de uma elipse centrada na origem com semi-eixos 1 (no eixo x) e 2 (no eixo y). Assim a borda \rho=1 mapeia para a elipse
\{(x,y): x^2+(y/2)^2=1\}.

Passo 4

Caracterizando o interior ( 0\le\rho\le1). Do cálculo anterior temos, para qualquer (\theta,\rho) em B,
x^2+\bigl(\tfrac{y}{2}\bigr)^2 = \rho^2.
Como \rho\in[0,1], isso implica
0\le x^2+\bigl(\tfrac{y}{2}\bigr)^2 \le 1.
Portanto os pontos da imagem satisfazem
x^2+\bigl(\tfrac{y}{2}\bigr)^2 \le 1,
isto é, \varphi(B) está contido na região interior e sua fronteira da elipse encontrada.

Passo 5

Mostrando que toda elipse preenchida é atingida (surjetividade sobre essa região). Tome qualquer (x,y) com
x^2+\bigl(\tfrac{y}{2}\bigr)^2 \le 1.
Defina
\rho = \sqrt{\,x^2+\bigl(\tfrac{y}{2}\bigr)^2\,}\in[0,1]
e escolha \theta tal que
\cos\theta = \frac{x}{\rho},\qquad \sin\theta = \frac{y/2}{\rho}.
Isso é possível (quando \rho=0 qualquer \theta serve). Com essas escolhas obtemos
\varphi(\theta,\rho) = \bigl(\rho\cdot\frac{x}{\rho},\,2\rho\cdot\frac{y/2}{\rho}\bigr) = (x,y).
Logo qualquer ponto da elipse preenchida tem um pré-imagem em B. Conclusão: \varphi(B) é exatamente a região elíptica interior à equação anterior.

Passo 6

Descrição geométrica final e dicas de desenho. A imagem é a elipse centrada na origem com semi-eixo horizontal 1 e semi-eixo vertical 2. Ou seja:
  • vértices horizontais em (\pm1,0),
  • vértices verticais em (0,\pm2),
  • região preenchida (não apenas a borda), pois \rho varia até 0.
Exemplo rápido para se acostumar: o ponto (0,2) pertence à imagem porque corresponde a \rho=1,\theta=\tfrac{\pi}{2}. O ponto (\tfrac12,1) também pertence porque (\tfrac12)^2+(1/2)^2=\tfrac12\le1, daí \rho=\sqrt{\tfrac12} e \theta=\operatorname{atan2}(1/2,\tfrac12)=\tfrac{\pi}{4}.

Resposta

\varphi(B)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : x^2+\bigl(\tfrac{y}{2}\bigr)^2 \le 1\}

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