Seja
uma aplicação de
em
. Desenhe o conjunto
onde
Passo 1
O enunciado dá a aplicação
definida por
e o conjunto parâmetro
O que nos pedem: desenhar o conjunto
, ou seja, descrever geometricamente a imagem de
por
.
Informações relevantes fornecidas:
-
varia em (ângulo completo). -
varia em (raio até 1). - As componentes da imagem são
e .
Passo 2
Entendendo a fórmula: compare com coordenadas polares clássicas. Na polar usual, o ponto com parâmetros
corresponde a
. Aqui temos um pequeno ajuste: a segunda componente foi multiplicada por
. Ou seja, podemos ver
como a composição de duas aplicações:
(essa leva o retângulo de parâmetros em um disco de raio
), seguida pelo alongamento vertical
Logo
. Intuição: primeiro construímos o disco unitário (todos os pontos com
), depois esticamos esse disco na direção
por um fator
. Esse alongamento transforma círculos em elipses.
Passo 3
Caracterizando a borda (caso
). Para
obtemos a curva
que é uma parametrização da curva limite. Vamos encontrar uma equação cartesiana dessa curva. Seja
. Então
Calcule
:
Em particular, para
temos
que é a equação de uma elipse centrada na origem com semi-eixos
(no eixo
) e
(no eixo
). Assim a borda
mapeia para a elipse
Passo 4
Caracterizando o interior (
). Do cálculo anterior temos, para qualquer
em
,
Como
, isso implica
Portanto os pontos da imagem satisfazem
isto é,
está contido na região interior e sua fronteira da elipse encontrada.
Passo 5
Mostrando que toda elipse preenchida é atingida (surjetividade sobre essa região). Tome qualquer
com
Defina
e escolha
tal que
Isso é possível (quando
qualquer
serve). Com essas escolhas obtemos
Logo qualquer ponto da elipse preenchida tem um pré-imagem em
. Conclusão:
é exatamente a região elíptica interior à equação anterior.
Passo 6
Descrição geométrica final e dicas de desenho. A imagem é a elipse centrada na origem com semi-eixo horizontal
e semi-eixo vertical
. Ou seja:
- vértices horizontais em
, - vértices verticais em
, - região preenchida (não apenas a borda), pois
varia até .
Exemplo rápido para se acostumar: o ponto
pertence à imagem porque corresponde a
. O ponto
também pertence porque
, daí
e
.