(Questão 05)
Calcule a imagem da função
no ponto
, a equação do plano tangente aproximado nesse ponto e, o erro de aproximação no ponto (1.1, 2.05)
Passo 1
O enunciado pede três coisas sobre a função
:
- Calcular a imagem de
no ponto . - Determinar a equação do plano tangente (aproximação linear) de
nesse ponto. - Calcular o erro da aproximação linear no ponto
(ou seja, a diferença entre o valor real e o valor aproximado dado pelo plano tangente nesse ponto).
Informações dadas: a função
e os pontos
e
. Não há outras condições a considerar.
Passo 2
Calcular a imagem de
no ponto
.
Explicação didática curta: “imagem” aqui significa o valor da função naquele par
. Basta substituir
e
na fórmula de
.
Cálculo:
Passo 3
Entender e calcular as derivadas parciais necessárias para o plano tangente.
A ideia: o plano tangente é a aproximação linear de
perto de um ponto
. Para construir essa aproximação precisamos das derivadas parciais de
em relação a
e a
no ponto, que medem como
muda quando variamos só
ou só
.
Definição prática e simples:
- A derivada parcial
é a derivada de tratando como constante. - A derivada parcial
é a derivada de tratando como constante.
Para
:
Agora avaliaremos em
:
Interpretação: perto de
, se eu aumento
em
mantendo
fixo,
aumenta aproximadamente
. Se eu aumento
em
mantendo
fixo,
aumenta aproximadamente
.
Passo 4
Construir a aproximação linear (o plano tangente) usando a fórmula da linearização.
Fórmula da linearização (aproximação de primeira ordem) em torno de
:
Aqui
e já calculamos
,
,
. Substituindo:
Podemos simplificar a expressão:
Interpretação: o plano tangente é a superfície planar
que toca o gráfico de
em
e tem as inclinações dadas pelas derivadas parciais.
Passo 5
Calcular o valor aproximado pelo plano tangente no ponto
.
Usamos
. Substituindo
e
:
Primeiro calcule as diferenças:
Agora:
Portanto a aproximação linear dá
naquele ponto.
Passo 6
Calcular o valor exato
e o erro de aproximação.
Calcule
diretamente:
Erro de aproximação (valor real menos valor aproximado):
Interpretação: a aproximação linear subestimou o valor real por
. Esse erro é pequeno porque o ponto
está perto de
e a função é suave. Se quiséssemos estimar o erro sem calcular
exatamente, poderíamos usar o termo de resto da expansão de Taylor (envolvendo segundas derivadas), mas aqui conseguimos calcular exatamente e obter a diferença numérica.
Resposta
Equação do plano tangente:
Erro da aproximação em