(Questão 05)

Calcule a imagem da função f(x, y)=x^{2}+y no ponto (1,2), a equação do plano tangente aproximado nesse ponto e, o erro de aproximação no ponto (1.1, 2.05)

Passo 1

O enunciado pede três coisas sobre a função f(x,y)=x^{2}+y:
  1. Calcular a imagem de f no ponto (1,2).
  2. Determinar a equação do plano tangente (aproximação linear) de z=f(x,y) nesse ponto.
  3. Calcular o erro da aproximação linear no ponto (1{,}1,\;2{,}05) (ou seja, a diferença entre o valor real f(1{,}1,2{,}05) e o valor aproximado dado pelo plano tangente nesse ponto).
Informações dadas: a função \;f(x,y)=x^{2}+y\; e os pontos (1,2) e (1{,}1,2{,}05). Não há outras condições a considerar.

Passo 2

Calcular a imagem de f no ponto (1,2).
Explicação didática curta: “imagem” aqui significa o valor da função naquele par (x,y). Basta substituir x=1 e y=2 na fórmula de f.
Cálculo:
f(1,2)=1^{2}+2=1+2=3.

Passo 3

Entender e calcular as derivadas parciais necessárias para o plano tangente.
A ideia: o plano tangente é a aproximação linear de f perto de um ponto (a,b). Para construir essa aproximação precisamos das derivadas parciais de f em relação a x e a y no ponto, que medem como f muda quando variamos só x ou só y.
Definição prática e simples:
  • A derivada parcial \frac{\partial f}{\partial x} é a derivada de f tratando y como constante.
  • A derivada parcial \frac{\partial f}{\partial y} é a derivada de f tratando x como constante.
Para f(x,y)=x^{2}+y:
\frac{\partial f}{\partial x}=2x, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=1.
Agora avaliaremos em (1,2):
\frac{\partial f}{\partial x}(1,2)=2\cdot 1=2, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(1,2)=1.
Interpretação: perto de (1,2), se eu aumento x em 0{,}1 mantendo y fixo, f aumenta aproximadamente 2\cdot 0{,}1=0{,}2. Se eu aumento y em 0{,}05 mantendo x fixo, f aumenta aproximadamente 1\cdot 0{,}05=0{,}05.

Passo 4

Construir a aproximação linear (o plano tangente) usando a fórmula da linearização.
Fórmula da linearização (aproximação de primeira ordem) em torno de (a,b):
L(x,y)=f(a,b)+\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)\,(x-a)+\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)\,(y-b).
Aqui (a,b)=(1,2) e já calculamos f(1,2)=3, \frac{\partial f}{\partial x}(1,2)=2, \frac{\partial f}{\partial y}(1,2)=1. Substituindo:
L(x,y)=3+2\,(x-1)+1\,(y-2).
Podemos simplificar a expressão:
L(x,y)=3+2x-2+y-2=2x+y-1.
Interpretação: o plano tangente é a superfície planar z=L(x,y) que toca o gráfico de z=f(x,y) em (1,2,3) e tem as inclinações dadas pelas derivadas parciais.

Passo 5

Calcular o valor aproximado pelo plano tangente no ponto (1{,}1,\;2{,}05).
Usamos L(x,y)=3+2(x-1)+(y-2). Substituindo x=1{,}1 e y=2{,}05:
Primeiro calcule as diferenças:
x-1=1{,}1-1=0{,}1,\qquad y-2=2{,}05-2=0{,}05.
Agora:
L(1{,}1,2{,}05)=3+2\cdot 0{,}1+1\cdot 0{,}05=3+0{,}2+0{,}05=3{,}25.
Portanto a aproximação linear dá 3{,}25 naquele ponto.

Passo 6

Calcular o valor exato f(1{,}1,2{,}05) e o erro de aproximação.
Calcule f diretamente:
f(1{,}1,2{,}05)=(1{,}1)^{2}+2{,}05=1{,}21+2{,}05=3{,}26.
Erro de aproximação (valor real menos valor aproximado):
\text{erro}=f(1{,}1,2{,}05)-L(1{,}1,2{,}05)=3{,}26-3{,}25=0{,}01.
Interpretação: a aproximação linear subestimou o valor real por 0{,}01. Esse erro é pequeno porque o ponto (1{,}1,2{,}05) está perto de (1,2) e a função é suave. Se quiséssemos estimar o erro sem calcular f exatamente, poderíamos usar o termo de resto da expansão de Taylor (envolvendo segundas derivadas), mas aqui conseguimos calcular exatamente e obter a diferença numérica.

Resposta

f(1,2)=3
Equação do plano tangente: z=2x+y-1
Erro da aproximação em (1{,}1,2{,}05): 0{,}01

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