Suponha que f é contínua em [-2,0] e que
\int_{-2}^{0} f(x) d x=3
Calcule
\int_{0}^{2} f(x-2) d x

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede um valor concreto:
  • Dado: f é contínua em [-2,0].
  • Dado: \displaystyle \int_{-2}^{0} f(x)\,dx = 3.
  • Pedido: calcular \displaystyle \int_{0}^{2} f(x-2)\,dx.

Passo 2

Ideia principal (sem resolver ainda): fazer uma mudança de variável (substituição) para transformar a integral \displaystyle \int_{0}^{2} f(x-2)\,dx numa integral com os mesmos limites [-2,0] que aparecem no dado. Vamos executar essa substituição com calma.

Passo 3

Definimos a nova variável por
u = x - 2.
Agora precisamos relacionar du com dx e transformar os limites de integração. Derivando ambos os lados em relação a x temos du/dx = 1, portanto
du = dx.
Isso significa que, quando mudamos de variável, o diferencial dx simplesmente se torna du.

Passo 4

Transformação dos limites: substituímos os valores de x pelos correspondentes u.
\text{quando } x=0,\; u=0-2=-2,
\text{quando } x=2,\; u=2-2=0.
Portanto o intervalo x\in[0,2] corresponde ao intervalo u\in[-2,0].

Passo 5

Aplicando a substituição na integral, usando u=x-2 e dx=du, obtemos
\int_{0}^{2} f(x-2)\,dx = \int_{-2}^{0} f(u)\,du.
Uma palavra sobre validade: como u=x-2 é uma mudança linear com derivada não nula e f é contínua em [-2,0], a troca de variável é totalmente válida e preserva o valor da integral conforme mostrado.

Passo 6

Agora usamos o dado fornecido: \displaystyle \int_{-2}^{0} f(x)\,dx = 3. Repare que a variável de integração é só um símbolo (chamei de u no passo anterior), então
\int_{-2}^{0} f(u)\,du = \int_{-2}^{0} f(x)\,dx = 3.
Portanto, juntando com o resultado do passo anterior,
\int_{0}^{2} f(x-2)\,dx = 3.

Resposta

\;3

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