Suponha que
é contínua em
e que
Calcule
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede um valor concreto:
- Dado:
é contínua em . - Dado:
. - Pedido: calcular
.
Passo 2
Ideia principal (sem resolver ainda): fazer uma mudança de variável (substituição) para transformar a integral
numa integral com os mesmos limites
que aparecem no dado. Vamos executar essa substituição com calma.
Passo 3
Definimos a nova variável por
Agora precisamos relacionar
com
e transformar os limites de integração. Derivando ambos os lados em relação a
temos
, portanto
Isso significa que, quando mudamos de variável, o diferencial
simplesmente se torna
.
Passo 4
Transformação dos limites: substituímos os valores de
pelos correspondentes
.
Portanto o intervalo
corresponde ao intervalo
.
Passo 5
Aplicando a substituição na integral, usando
e
, obtemos
Uma palavra sobre validade: como
é uma mudança linear com derivada não nula e
é contínua em
, a troca de variável é totalmente válida e preserva o valor da integral conforme mostrado.
Passo 6
Agora usamos o dado fornecido:
. Repare que a variável de integração é só um símbolo (chamei de
no passo anterior), então
Portanto, juntando com o resultado do passo anterior,