Calcule:
\int x^{3} \cos \left(x^{4}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int x^{3}\cos\bigl(x^{4}\bigr)\,dx.
O conteúdo aqui é integração por substituição, pois vemos uma função composta \cos(x^{4}) cujo “pico” x^{4} tem derivada 4x^{3} próxima do x^{3} que multiplica.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^{4}
para que a parte interna da cosseno vire uma variável simples. Calculamos o diferencial:
du = 4x^{3}\,dx
ou seja
x^{3}\,dx = \frac{1}{4}\,du.

Passo 3

Substituímos na integral original:
\int x^{3}\cos\bigl(x^{4}\bigr)\,dx = \int \cos(u)\,\frac{1}{4}\,du = \frac{1}{4}\int \cos(u)\,du.
Agora integramos \cos(u):
\int \cos(u)\,du = \sin(u) + C.

Passo 4

Voltando à variável x, temos
\frac{1}{4}\sin(u) + C = \frac{1}{4}\sin\bigl(x^{4}\bigr) + C.

Resposta

\frac{1}{4}\sin\bigl(x^{4}\bigr) + C

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