Calcule (usando fórmulas de derivação conhecidas ou o significado geométrico):
\int_{0}^{\pi / 4} \operatorname{tg}^{2} x d x

Passo 1

O enunciado pede calcular
\int_{0}^{\pi/4} \tan^{2}x\,dx.
Este é um problema de integração de funções trigonométricas. Vamos usar a identidade
\tan^{2}x = \operatorname{sec}^{2}x - 1
e as primitivas conhecidas de \operatorname{sec}^{2}x e de 1.

Passo 2

Usando a identidade, reescrevemos o integrando:
\int_{0}^{\pi/4} \tan^{2}x\,dx = \int_{0}^{\pi/4} \bigl(\operatorname{sec}^{2}x - 1\bigr)\,dx.

Passo 3

Integramos cada termo separadamente. Como
\frac{d}{dx}(\tan x)=\operatorname{sec}^{2}x \quad\text{e}\quad \frac{d}{dx}(x)=1,
uma primitiva de \operatorname{sec}^{2}x-1 é
\tan x - x.

Passo 4

Avaliamo-la nos limites de 0 a \pi/4:
\bigl[\tan x - x\bigr]_{0}^{\pi/4} = \bigl(\tan(\tfrac{\pi}{4}) - \tfrac{\pi}{4}\bigr) - \bigl(\tan 0 - 0\bigr) = \bigl(1 - \tfrac{\pi}{4}\bigr) - 0 = 1 - \tfrac{\pi}{4}.

Resposta

1 - \frac{\pi}{4}

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