Calcule (usando fórmulas de derivação conhecidas ou o significado geométrico):
\int_{0}^{2} \frac{4}{1+u^{2}} d u.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{2} \frac{4}{1+u^{2}}\,du.
O conteúdo necessário é o Teorema Fundamental do Cálculo e a antiderivada de \frac{1}{1+u^{2}}, que sabemos ser \arctan(u).

Passo 2

Vamos encontrar a antiderivada de \frac{4}{1+u^{2}}. Primeiro, fatoramos a constante 4:
\int \frac{4}{1+u^{2}}\,du =4\int \frac{1}{1+u^{2}}\,du.
Como
\frac{d}{du}\bigl(\arctan(u)\bigr)=\frac{1}{1+u^{2}},
segue que
\int \frac{4}{1+u^{2}}\,du =4\arctan(u)+C.

Passo 3

Aplicamos agora os limites de 0 a 2 na antiderivada 4\arctan(u):
\int_{0}^{2} \frac{4}{1+u^{2}}\,du =\bigl[4\arctan(u)\bigr]_{0}^{2} =4\arctan(2)-4\arctan(0).
Como \arctan(0)=0, concluímos que o valor da integral é
4\arctan(2).

Resposta

4\arctan(2)

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