Calcule.
\int x^{2} \sin x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida \displaystyle \int x^{2}\sin x \,dx.
O conteúdo aqui é integração por partes, que usaremos duas vezes.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Escolhemos
u = x^{2},\quad dv = \sin x\,dx,
então
du = 2x\,dx,\quad v = -\cos x.
Logo,
\int x^{2}\sin x\,dx = u\,v - \int v\,du = -x^{2}\cos x - \int \bigl(-\cos x\bigr)\,2x\,dx = -x^{2}\cos x + 2\int x\cos x\,dx.

Passo 3

Agora calculamos \displaystyle \int x\cos x\,dx por partes de novo, escolhendo
u = x,\quad dv = \cos x\,dx,
então
du = dx,\quad v = \sin x.
Assim,
\int x\cos x\,dx = x\sin x - \int \sin x\,dx = x\sin x + \cos x.
Multiplicando por 2 dá
2\int x\cos x\,dx = 2x\sin x + 2\cos x.

Passo 4

Substituindo de volta, temos
\int x^{2}\sin x\,dx = -x^{2}\cos x + \bigl(2x\sin x + 2\cos x\bigr) + C.

Resposta

-x^{2}\cos x + 2x\sin x + 2\cos x + C

Exercícios relacionados