Calcule
\int x e^{x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x e^{x}\,dx
Usaremos o método de integração por partes, pois temos um produto de funções x e e^{x}.

Passo 2

Em integração por partes, escolhemos
u = x \quad\text{e}\quad dv = e^{x}\,dx.
Então derivamos e integramos conforme
du = dx \quad\text{e}\quad v = \int e^{x}\,dx = e^{x}.

Passo 3

Aplicando a fórmula
\int u\,dv = uv - \int v\,du
obtemos
\int x e^{x}\,dx = x e^{x} - \int e^{x}\,dx = x e^{x} - e^{x} + C.
Podemos fatorar e^{x}:
\int x e^{x}\,dx = e^{x}(x - 1) + C.

Resposta

\int x e^{x}\,dx = e^{x}(x - 1) + C.

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