Calcule:
\int(3-2 x)^{4} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int(3-2 x)^{4}\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é (3-2x)^{4}.
  • A variável de integração é x.
  • É uma integral indefinida, então o resultado deve incluir a constante de integração C.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão dentro da integral trocando a variável por uma nova variável u. Esta técnica chama-se substituição e serve para transformar uma expressão complicada numa mais fácil de integrar. Definimos
u = 3-2x.
Aqui u é simplesmente uma nova variável que representa a expressão interna (3-2x). A ideia é reescrever toda a integral em termos de u e do diferencial du.

Passo 3

Calculemos o diferencial du. Derivando u em relação a x obtemos
\frac{du}{dx} = -2,
ou seja
du = -2\,dx.
Isolando dx em função de du temos
dx = -\frac{1}{2}\,du.

Passo 4

Substituímos u e dx na integral original. A integral
\int(3-2 x)^{4}\,dx
torna-se, usando u=(3-2x) e dx=-\tfrac{1}{2}du,
\int u^{4}\left(-\frac{1}{2}\,du\right) = -\frac{1}{2}\int u^{4}\,du.

Passo 5

Agora usamos a regra da potência para integrais: para qualquer n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
No nosso caso n=4, então
\int u^{4}\,du = \frac{u^{5}}{5} + C.
Multiplicando pelo fator -\tfrac{1}{2} obtemos
-\frac{1}{2}\cdot\frac{u^{5}}{5} = -\frac{u^{5}}{10} + C.

Passo 6

Voltando à variável original x (fazendo a substituição inversa u=3-2x), obtemos a primitiva
-\frac{(3-2x)^{5}}{10} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Vamos checar rapidamente derivando a resposta para ver se recuperamos o integrando. Diferenciando
-\frac{(3-2x)^{5}}{10}
temos, pela regra da cadeia,
-\frac{1}{10}\cdot 5(3-2x)^{4}\cdot(-2) = (3-2x)^{4},
que é exatamente o integrando. Então a resposta está correta.

Resposta

-\dfrac{(3-2x)^{5}}{10}+C

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