Calcule:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - A variável de integração é
. - É uma integral indefinida, então o resultado deve incluir a constante de integração
.
Passo 2
Vamos simplificar a expressão dentro da integral trocando a variável por uma nova variável
. Esta técnica chama-se substituição e serve para transformar uma expressão complicada numa mais fácil de integrar. Definimos
Aqui
é simplesmente uma nova variável que representa a expressão interna
. A ideia é reescrever toda a integral em termos de
e do diferencial
.
Passo 3
Calculemos o diferencial
. Derivando
em relação a
obtemos
ou seja
Isolando
em função de
temos
Passo 4
Substituímos
e
na integral original. A integral
torna-se, usando
e
,
Passo 5
Agora usamos a regra da potência para integrais: para qualquer
,
No nosso caso
, então
Multiplicando pelo fator
obtemos
Passo 6
Voltando à variável original
(fazendo a substituição inversa
), obtemos a primitiva
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Vamos checar rapidamente derivando a resposta para ver se recuperamos o integrando. Diferenciando
temos, pela regra da cadeia,
que é exatamente o integrando. Então a resposta está correta.