Determine as primitivas F(x) para as funções:
\int(x+1)^{17} d x

Passo 1

O enunciado pede: determinar as primitivas F(x) da função dada pela integral
\int (x+1)^{17}\, dx.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função a integrar é (x+1)^{17}.
  • Queremos todas as primitivas, ou seja, a família de funções F(x) tais que F'(x)=(x+1)^{17}.
  • Devemos lembrar de incluir a constante de integração C.

Passo 2

O que é uma primitiva? \n
Uma função F é primitiva de f se
F'(x)=f(x)
para todo x do domínio. Ao calcular uma integral indefinida escrevemos sempre +C porque se F é primitiva de f, então F+C também é, para qualquer constante C.

Passo 3

Relembrando a regra básica (regra da potência) para integrais: \n
Se n\neq -1, então
\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Por que isso funciona? Diferenciando o lado direito obtemos
\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right)=\frac{n+1}{n+1}x^{n}=x^{n},
logo a diferença entre integrar e derivar se anula com esse procedimento.

Passo 4

No nosso caso a base não é simplesmente x, mas x+1. Para converter a integral para algo onde possamos aplicar a regra da potência usamos substituição (u-substituição). A ideia é definir uma nova variável u igual à expressão que está elevada a uma potência, simplificando a integral.

Passo 5

Fazendo a substituição: seja
u=x+1.
Então derivando ambos os lados em relação a x obtemos
du = dx,
porque \frac{d}{dx}(x+1)=1. Como du=dx, a integral em x transforma-se numa integral em u.

Passo 6

Substituindo na integral original:
\int (x+1)^{17}\, dx = \int u^{17}\, du.
Agora podemos aplicar a regra da potência com n=17.

Passo 7

Aplicando a regra da potência:
\int u^{17}\, du = \frac{u^{18}}{18} + C.
Explicando: aumentamos o expoente em 1 (de 17 para 18) e dividimos por esse novo expoente 18.

Passo 8

Voltando à variável original x (substituindo u=x+1):
\frac{u^{18}}{18} + C = \frac{(x+1)^{18}}{18} + C.
Devemos verificar rapidamente: derivando \frac{(x+1)^{18}}{18} pelo teorema da cadeia obtemos
\frac{18}{18}(x+1)^{17}\cdot 1=(x+1)^{17},
ou seja, a derivada coincide com a integranda, confirmação correta.

Resposta

\displaystyle F(x)=\frac{(x+1)^{18}}{18}+C

Exercícios relacionados