Determine as primitivas
para as funções:
Passo 1
O enunciado pede: determinar as primitivas
da função dada pela integral
Informações relevantes fornecidas:
- A função a integrar é
. - Queremos todas as primitivas, ou seja, a família de funções
tais que . - Devemos lembrar de incluir a constante de integração
.
Passo 2
O que é uma primitiva? \n
Uma função é primitiva de
se
Uma função
para todo
do domínio. Ao calcular uma integral indefinida escrevemos sempre
porque se
é primitiva de
, então
também é, para qualquer constante
.
Passo 3
Relembrando a regra básica (regra da potência) para integrais: \n
Se , então
Se
Por que isso funciona? Diferenciando o lado direito obtemos
logo a diferença entre integrar e derivar se anula com esse procedimento.
Passo 4
No nosso caso a base não é simplesmente
, mas
. Para converter a integral para algo onde possamos aplicar a regra da potência usamos substituição (u-substituição). A ideia é definir uma nova variável
igual à expressão que está elevada a uma potência, simplificando a integral.
Passo 5
Fazendo a substituição: seja
Então derivando ambos os lados em relação a
obtemos
porque
. Como
, a integral em
transforma-se numa integral em
.
Passo 6
Substituindo na integral original:
Agora podemos aplicar a regra da potência com
.
Passo 7
Aplicando a regra da potência:
Explicando: aumentamos o expoente em 1 (de
para
) e dividimos por esse novo expoente
.
Passo 8
Voltando à variável original
(substituindo
):
Devemos verificar rapidamente: derivando
pelo teorema da cadeia obtemos
ou seja, a derivada coincide com a integranda, confirmação correta.