Determine as primitivas F(x) para as funções:
\int 7 \operatorname{sen} 7 x d x

Passo 1

Enunciado: encontrar primitivas F(x) da função dada pela integral
\int 7\operatorname{sen} 7x\,dx.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função a integrar é 7\operatorname{sen} 7x. (Vou escrever \operatorname{sen} como \sin nas fórmulas.)
  • Queremos todas as primitivas F(x) tais que F'(x)=7\sin(7x).
  • Não há condições iniciais; portanto a resposta deve conter a constante arbitrária de integração C.

Passo 2

Escolha do método e ideia principal: aqui o integrando tem uma constante multiplicativa 7 e uma função composta \sin(7x). O jeito mais simples é usar substituição linear u=7x (ou aplicar diretamente a regra básica \int \sin(kx)\,dx = -\frac{1}{k}\cos(kx)+C — vou demonstrar a substituição para ficar bem claro). Fazendo a substituição:
u = 7x.
Derivando ambos os lados em relação a x obtemos
\frac{du}{dx}=7 \quad\Rightarrow\quad du = 7\,dx \quad\Rightarrow\quad dx=\frac{du}{7}.

Passo 3

Troca na integral usando u e dx=\dfrac{du}{7}:
\int 7\sin(7x)\,dx = \int 7\sin(u)\cdot\frac{du}{7}.
Note que o fator 7 cancela com o 1/7:
\int 7\sin(u)\cdot\frac{du}{7} = \int \sin(u)\,du.

Passo 4

Agora integramos \sin(u). Lembrete de cálculo: a derivada de \cos u em relação a u é \dfrac{d}{du}\cos u = -\sin u. Isso implica que uma primitiva de \sin u é -\cos u, porque derivando -\cos u obtemos \sin u. Portanto
\int \sin(u)\,du = -\cos(u) + C.

Passo 5

Voltando à variável x (substituindo u=7x):
\int 7\sin(7x)\,dx = -\cos(u) + C = -\cos(7x) + C.

Passo 6

Verificação rápida (boa prática para prova): derivamos a candidata F(x)=-\cos(7x)+C e verificamos se volta ao integrando.
Usando a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\big(-\cos(7x)\big) = -\big(-\sin(7x)\cdot 7\big) = 7\sin(7x),
que é exatamente o integrando. Logo a primitiva está correta.

Passo 7

Dica prática para a prova: decorre a regra útil
\int \sin(kx)\,dx = -\frac{1}{k}\cos(kx)+C,
e, se houver um fator constante a multiplicando, ele permanece: \int a\sin(kx)\,dx = -a\frac{1}{k}\cos(kx)+C. No nosso caso os fatores se cancelaram e o resultado ficou mais simples.

Resposta

-\cos(7x)+C

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