Determine as primitivas
para as funções:
Passo 1
Enunciado: encontrar primitivas
da função dada pela integral
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função a integrar é
. (Vou escrever como nas fórmulas.) - Queremos todas as primitivas
tais que . - Não há condições iniciais; portanto a resposta deve conter a constante arbitrária de integração
.
Passo 2
Escolha do método e ideia principal: aqui o integrando tem uma constante multiplicativa
e uma função composta
. O jeito mais simples é usar substituição linear
(ou aplicar diretamente a regra básica
— vou demonstrar a substituição para ficar bem claro). Fazendo a substituição:
Derivando ambos os lados em relação a
obtemos
Passo 3
Troca na integral usando
e
:
Note que o fator
cancela com o
:
Passo 4
Agora integramos
. Lembrete de cálculo: a derivada de
em relação a
é
. Isso implica que uma primitiva de
é
, porque derivando
obtemos
. Portanto
Passo 5
Voltando à variável
(substituindo
):
Passo 6
Verificação rápida (boa prática para prova): derivamos a candidata
e verificamos se volta ao integrando.
Usando a regra da cadeia:
Usando a regra da cadeia:
que é exatamente o integrando. Logo a primitiva está correta.
Passo 7
Dica prática para a prova: decorre a regra útil
e, se houver um fator constante
multiplicando, ele permanece:
. No nosso caso os fatores se cancelaram e o resultado ficou mais simples.