Calcule.
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \operatorname{tg}^{2} x d x

Passo 1

O problema pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \operatorname{tg}^{2} x \, dx.
As informações dadas são: o integrando é \operatorname{tg}^{2} x (ou seja, \tan^{2}x) e os limites de integração são 0 e \frac{\pi}{4}. A saída necessária é um número (o valor da integral).

Passo 2

Vamos usar uma identidade trigonométrica que simplifica muito a integral. A partir da identidade fundamental \sin^{2}x+\cos^{2}x=1 dividimos tudo por \cos^{2}x para obter:
\tan^{2}x + 1 = \operatorname{sec}^{2}x.
Reescrevendo, temos
\tan^{2}x = \operatorname{sec}^{2}x - 1.
Expliquei isso porque essa transformação troca \tan^{2}x por termos cuja primitiva conhecemos facilmente. Escolhi esse método porque, comparado a uma substituição direta, ele leva a uma antiderivada imediata: a primitiva de \operatorname{sec}^{2}x é \tan x, enquanto uma substituição u=\tan x complicaria um pouco (apareceria um \operatorname{sec}^{2}x no denominador se tentarmos eliminar dx), então a identidade é o caminho mais curto aqui.

Passo 3

Usando a identidade do passo anterior reescrevo a integral:
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^{2}x \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \big(\operatorname{sec}^{2}x - 1\big)\, dx.

Passo 4

Agora integro termo a termo. Lembrando que a derivada de \tan x é \operatorname{sec}^{2}x, logo a primitiva de \operatorname{sec}^{2}x é \tan x. A primitiva de 1 é x. Portanto uma antiderivada de \operatorname{sec}^{2}x-1 é
F(x) = \tan x - x.
Isto é, \dfrac{d}{dx}(\tan x - x)=\operatorname{sec}^{2}x-1.

Passo 5

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, avalio F nos limites:
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^{2}x \, dx = \big[\tan x - x\big]_{0}^{\frac{\pi}{4}}.
Calculo os valores necessários: \tan\!\big(\tfrac{\pi}{4}\big)=1 e \tan(0)=0. Então
\big[\tan x - x\big]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \Big(1 - \frac{\pi}{4}\Big) - (0 - 0).

Passo 6

Concluo o cálculo:
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^{2}x \, dx = 1 - \frac{\pi}{4}.
Só para intuir: numericamente \frac{\pi}{4}\approx 0{,}7854, então o resultado é cerca de 0{,}2146, um número positivo pequeno — faz sentido porque \tan^{2}x é pequeno no intervalo [0,\tfrac{\pi}{4}].

Resposta

1-\dfrac{\pi}{4}

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