Calcule.
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \operatorname{tg}^{2} x d x
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \operatorname{tg}^{2} x d x
Passo 1
O problema pede para calcular a integral definida
As informações dadas são: o integrando é
(ou seja,
) e os limites de integração são
e
. A saída necessária é um número (o valor da integral).
Passo 2
Vamos usar uma identidade trigonométrica que simplifica muito a integral. A partir da identidade fundamental
dividimos tudo por
para obter:
Reescrevendo, temos
Expliquei isso porque essa transformação troca
por termos cuja primitiva conhecemos facilmente. Escolhi esse método porque, comparado a uma substituição direta, ele leva a uma antiderivada imediata: a primitiva de
é
, enquanto uma substituição
complicaria um pouco (apareceria um
no denominador se tentarmos eliminar
), então a identidade é o caminho mais curto aqui.
Passo 3
Usando a identidade do passo anterior reescrevo a integral:
Passo 4
Agora integro termo a termo. Lembrando que a derivada de
é
, logo a primitiva de
é
. A primitiva de
é
. Portanto uma antiderivada de
é
Isto é,
.
Passo 5
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, avalio
nos limites:
Calculo os valores necessários:
e
. Então
Passo 6
Concluo o cálculo:
Só para intuir: numericamente
, então o resultado é cerca de
, um número positivo pequeno — faz sentido porque
é pequeno no intervalo
.