Calcule.
\int_{0}^{1} 3^{x} d x
\int_{0}^{1} 3^{x} d x
Passo 1
O que o problema pede: calcular a integral definida
.
Informações dadas:
- A função integranda é
. - Os limites de integração são
(inferior) e (superior). - Queremos o valor numérico exato da integral definida.
Passo 2
Ideia essencial (fórmula que vamos usar): para integrar potências com base diferente de
é conveniente escrever a base como exponencial natural. Lembre que, para qualquer base positiva
,
onde
é o logaritmo natural de
. Aqui,
, então
é um número fixo (positivo).
Explicação do porquê: a função
tem derivada
. Portanto a primitiva de
é
. Isso é consequência direta da regra da cadeia em derivação — aqui estamos apenas invertendo essa operação para integrar.
Passo 3
Aplicando a ideia ao nosso caso:
Assim a primitiva de
é
Reescrevendo em termos de
,
Aqui
é a constante de integração; no caso de integral definida usaremos a primitiva para avaliar nos limites.
Passo 4
Usando o Teorema Fundamental do Cálculo: se
é uma primitiva, então
Calculemos:
Portanto
Passo 5
Interpretação rápida e dica para a prova: o resultado geral é que, para qualquer
,
Decore essa forma (ou saiba derivar rápido escrevendo
) — é um jeito certeiro de resolver integrais desse tipo sem erro. Você está indo bem — respira, repete duas ou três vezes esse padrão e fica automático na prova.