Calcule.
\int_{0}^{1} 3^{x} d x

Passo 1

O que o problema pede: calcular a integral definida \displaystyle \int_{0}^{1} 3^{x}\,dx.
Informações dadas:
  • A função integranda é \displaystyle 3^{x}.
  • Os limites de integração são 0 (inferior) e 1 (superior).
  • Queremos o valor numérico exato da integral definida.

Passo 2

Ideia essencial (fórmula que vamos usar): para integrar potências com base diferente de e é conveniente escrever a base como exponencial natural. Lembre que, para qualquer base positiva a,
a^{x} = e^{x\ln a},
onde \ln a é o logaritmo natural de a. Aqui, a=3, então \ln 3 é um número fixo (positivo).
Explicação do porquê: a função e^{kx} tem derivada \dfrac{d}{dx}e^{kx}=k e^{kx}. Portanto a primitiva de e^{kx} é \dfrac{1}{k}e^{kx}+C. Isso é consequência direta da regra da cadeia em derivação — aqui estamos apenas invertendo essa operação para integrar.

Passo 3

Aplicando a ideia ao nosso caso:
3^{x} = e^{x\ln 3}.
Assim a primitiva de \,3^{x}\, é
\int 3^{x}\,dx = \int e^{x\ln 3}\,dx = \frac{1}{\ln 3}\,e^{x\ln 3} + C.
Reescrevendo em termos de 3^{x},
\int 3^{x}\,dx = \frac{3^{x}}{\ln 3} + C.
Aqui C é a constante de integração; no caso de integral definida usaremos a primitiva para avaliar nos limites.

Passo 4

Usando o Teorema Fundamental do Cálculo: se F(x)=\dfrac{3^{x}}{\ln 3} é uma primitiva, então
\int_{0}^{1} 3^{x}\,dx = F(1)-F(0).
Calculemos:
F(1) = \frac{3^{1}}{\ln 3} = \frac{3}{\ln 3},
F(0) = \frac{3^{0}}{\ln 3} = \frac{1}{\ln 3}.
Portanto
\int_{0}^{1} 3^{x}\,dx = \frac{3}{\ln 3} - \frac{1}{\ln 3} = \frac{3-1}{\ln 3} = \frac{2}{\ln 3}.

Passo 5

Interpretação rápida e dica para a prova: o resultado geral é que, para qualquer a>0, a\neq 1,
\int_{u}^{v} a^{x}\,dx = \frac{a^{v}-a^{u}}{\ln a}.
Decore essa forma (ou saiba derivar rápido escrevendo a^{x}=e^{x\ln a}) — é um jeito certeiro de resolver integrais desse tipo sem erro. Você está indo bem — respira, repete duas ou três vezes esse padrão e fica automático na prova.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{\ln 3}

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