Calcule
\int x 2{x{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int x\,2^{x^{2}}\,dx.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função a ser integrada é x multiplicada por 2^{x^{2}}.
  • Queremos uma primitiva (ou família de primitivas) dessa função, ou seja, uma expressão F(x) tal que F'(x)=x\,2^{x^{2}}.
  • Devemos apresentar a resposta com uma constante de integração C.

Passo 2

Idéia do método: quando vemos algo do tipo x junto com 2^{x^{2}}, é natural tentar uma substituição que simplifique o expoente x^{2}. Vamos tentar a substituição
u = x^{2}.
Agora calculamos o diferencial du. Derivando u em relação a x,
du = 2x\,dx.
Dessa relação isolamos x\,dx, que aparece na integral original:
x\,dx = \frac{du}{2}.

Passo 3

Fazendo a substituição na integral original: onde estava x^{2} colocamos u, e onde estava x\,dx colocamos \dfrac{du}{2}. Assim
\int x\,2^{x^{2}}\,dx = \int 2^{u}\cdot\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int 2^{u}\,du.

Passo 4

Agora precisamos saber como integrar 2^{u}. Em geral, para uma base positiva a\neq1 vale a fórmula
\int a^{u}\,du = \frac{a^{u}}{\ln a} + C.
Explicação rápida do porquê: escrever a^{u}=e^{u\ln a}. Então \dfrac{d}{du}e^{u\ln a}=\ln a\;e^{u\ln a}=\ln a\;a^{u}. Invertendo essa derivação, a primitiva de a^{u} é a^{u}/\ln a.
Aplicando com a=2 temos
\int 2^{u}\,du = \frac{2^{u}}{\ln 2} + C.

Passo 5

Voltando à integral que tínhamos:
\frac{1}{2}\int 2^{u}\,du = \frac{1}{2}\cdot\frac{2^{u}}{\ln 2} + C = \frac{2^{u}}{2\ln 2} + C.
Agora desfazemos a substituição u=x^{2}:
\frac{2^{x^{2}}}{2\ln 2} + C.

Passo 6

Checagem por derivação (para confirmar): derivando a função obtida devemos recuperar o integrando.
Derivando F(x)=\dfrac{2^{x^{2}}}{2\ln 2}:
F'(x)=\frac{1}{2\ln 2}\cdot 2^{x^{2}}\cdot (\ln 2)\cdot (2x).
As multiplicações cancelam \ln 2 e o fator 2, sobrando
F'(x)=x\,2^{x^{2}},
que é exatamente o integrando original. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

\dfrac{2^{x^{2}}}{2\ln 2}+C

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