Calcule
\int x 2{x{2}} d x
\int x 2{x{2}} d x
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função a ser integrada é
multiplicada por . - Queremos uma primitiva (ou família de primitivas) dessa função, ou seja, uma expressão
tal que . - Devemos apresentar a resposta com uma constante de integração
.
Passo 2
Idéia do método: quando vemos algo do tipo
junto com
, é natural tentar uma substituição que simplifique o expoente
. Vamos tentar a substituição
Agora calculamos o diferencial
. Derivando
em relação a
,
Dessa relação isolamos
, que aparece na integral original:
Passo 3
Fazendo a substituição na integral original: onde estava
colocamos
, e onde estava
colocamos
. Assim
Passo 4
Agora precisamos saber como integrar
. Em geral, para uma base positiva
vale a fórmula
Explicação rápida do porquê: escrever
. Então
. Invertendo essa derivação, a primitiva de
é
.
Aplicando com
temos
Passo 5
Voltando à integral que tínhamos:
Agora desfazemos a substituição
:
Passo 6
Checagem por derivação (para confirmar): derivando a função obtida devemos recuperar o integrando.
Derivando :
Derivando
As multiplicações cancelam
e o fator
, sobrando
que é exatamente o integrando original. Portanto a primitiva está correta.