Calcule
\int x \sqrt{x+1} d x
\int x \sqrt{x+1} d x
Passo 1
O que o problema pede: calcular a integral indefinida
Informações dadas: a integranda é
vezes
. O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) em função de
, mais a constante de integração
.
Passo 2
Escolha do método e ideia: uma substituição simples resolve isso de forma direta porque aparece
; então faz sentido colocar a parte
como nova variável. Defino
Então
representa o argumento da raiz. A partir disso:
Explico por que: como
, derivando ambos os lados em relação a
obtém-se
, logo
. Substituir simplifica a raiz e transforma a integral em potências de
, que são fáceis de integrar.
Passo 3
Fazer a substituição na integral:
Agora escrevo a raiz como potência:
portanto
Expliquei: multipliquei
por
e por
para obter as duas potências
e
.
Passo 4
Regra de integração usada (aula rápida): para
,
Aqui aplico com
e
.
Calcule cada termo:
Subtraindo os dois resultados:
Passo 5
Voltar à variável original
substituindo
:
Podemos deixar a resposta numa forma fatorada e mais compacta. Fatorando
:
Colocando em denominador comum
e simplificando:
Passo 6
Verificação rápida (para ficar seguro): derivando
usando regra do produto e cadeia chega-se a
, portanto
é realmente uma primitiva da integranda. Isso confirma que a expressão está correta.