Calcule
\int x \sqrt{x+1} d x

Passo 1

O que o problema pede: calcular a integral indefinida
\int x \sqrt{x+1}\,dx
Informações dadas: a integranda é x vezes \sqrt{x+1}. O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) em função de x, mais a constante de integração C.

Passo 2

Escolha do método e ideia: uma substituição simples resolve isso de forma direta porque aparece \sqrt{x+1}; então faz sentido colocar a parte x+1 como nova variável. Defino
u = x+1.
Então u representa o argumento da raiz. A partir disso:
du = dx \qquad\text{e}\qquad x = u-1.
Explico por que: como u=x+1, derivando ambos os lados em relação a x obtém-se du/dx=1, logo du=dx. Substituir simplifica a raiz e transforma a integral em potências de u, que são fáceis de integrar.

Passo 3

Fazer a substituição na integral:
\int x\sqrt{x+1}\,dx = \int (u-1)\sqrt{u}\,du.
Agora escrevo a raiz como potência:
\sqrt{u}=u^{1/2},
portanto
\int (u-1)u^{1/2}\,du = \int \bigl(u^{3/2}-u^{1/2}\bigr)\,du.
Expliquei: multipliquei u^{1/2} por u e por -1 para obter as duas potências u^{3/2} e u^{1/2}.

Passo 4

Regra de integração usada (aula rápida): para n\neq-1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui aplico com n=\tfrac{3}{2} e n=\tfrac{1}{2}.
Calcule cada termo:
\int u^{3/2}\,du = \frac{u^{5/2}}{5/2} = \frac{2}{5}u^{5/2},
\int u^{1/2}\,du = \frac{u^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}u^{3/2}.
Subtraindo os dois resultados:
\int \bigl(u^{3/2}-u^{1/2}\bigr)\,du = \frac{2}{5}u^{5/2} - \frac{2}{3}u^{3/2} + C.

Passo 5

Voltar à variável original x substituindo u=x+1:
\frac{2}{5}(x+1)^{5/2} - \frac{2}{3}(x+1)^{3/2} + C.
Podemos deixar a resposta numa forma fatorada e mais compacta. Fatorando 2(x+1)^{3/2}:
2(x+1)^{3/2}\!\left(\frac{1}{5}(x+1)-\frac{1}{3}\right)+C.
Colocando em denominador comum 15 e simplificando:
\frac{2}{15}(3(x+1)-5)(x+1)^{3/2}+C = \frac{2}{15}(3x-2)(x+1)^{3/2}+C.

Passo 6

Verificação rápida (para ficar seguro): derivando
F(x)=\frac{2}{15}(3x-2)(x+1)^{3/2}
usando regra do produto e cadeia chega-se a F'(x)=x\sqrt{x+1}, portanto F é realmente uma primitiva da integranda. Isso confirma que a expressão está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{15}(3x-2)(x+1)^{3/2}+C

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