Calcule
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A função a integrar é
multiplicada por (ou seja ). - É uma integral indefinida — espera-se uma primitiva mais constante de integração
.
Passo 2
Idéia principal (aqui só explico a ideia, sem calcular ainda): quando vemos um produto com
e uma função de
, uma estratégia natural é fazer a substituição
porque a derivada de
é
, o que simplifica o diferencial. Vou usar isso passo a passo.
Passo 3
Calcular o diferencial da substituição. Tomando
,
a derivada em relação a é
a derivada em relação a
Isto significa que o diferencial se escreve
Explicando:
é a mudança em
quando
muda; aqui ela é exatamente
vezes
. Isso é perfeito porque
aparece na integral original.
Passo 4
Fazer a mudança de variável na integral usando
e
. Substituindo
e
, a integral original vira uma integral em
:
Aqui usei que
, então a integral ficou
.
Passo 5
Integrar
usando a regra do poder (power rule). A regra do poder diz que, para
,
Aqui
, logo
. Aplicando a regra:
Agora simplifico a fração dividindo por
:
Passo 6
Voltar para a variável original
. Lembrando que
, a primitiva em
é
Explicação sobre constantes e domínio: a constante
é a constante de integração. A potência fracionária com expoente
(e
) é bem definida para valores reais de
usando raiz cúbica (que aceita negativos), então a primitiva é válida para todo
real com a interpretação usual de raiz cúbica real.
Passo 7
Verificação rápida (útil na prova): derivar a resposta para confirmar. Derivando
que é exatamente o integrando original. Logo a primitiva está correta.