Calcule
\int \cos \theta \sqrt[3]{\operatorname{sen} \theta} d \theta

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \cos\theta\,\sqrt[3]{\operatorname{sen}\theta}\,d\theta.
Informações dadas:
  • A função a integrar é \cos\theta multiplicada por \sqrt[3]{\operatorname{sen}\theta} (ou seja (\operatorname{sen}\theta)^{1/3}).
  • É uma integral indefinida — espera-se uma primitiva mais constante de integração C.

Passo 2

Idéia principal (aqui só explico a ideia, sem calcular ainda): quando vemos um produto com \cos\theta e uma função de \operatorname{sen}\theta, uma estratégia natural é fazer a substituição
u=\operatorname{sen}\theta,
porque a derivada de \operatorname{sen}\theta é \cos\theta, o que simplifica o diferencial. Vou usar isso passo a passo.

Passo 3

Calcular o diferencial da substituição. Tomando \;u=\operatorname{sen}\theta\;,
a derivada em relação a \theta é
\frac{du}{d\theta}=\cos\theta.
Isto significa que o diferencial se escreve
du=\cos\theta\,d\theta.
Explicando: du é a mudança em u quando \theta muda; aqui ela é exatamente \cos\theta vezes d\theta. Isso é perfeito porque \cos\theta\,d\theta aparece na integral original.

Passo 4

Fazer a mudança de variável na integral usando u e du. Substituindo u=\operatorname{sen}\theta e du=\cos\theta\,d\theta, a integral original vira uma integral em u:
\int \cos\theta\,\sqrt[3]{\operatorname{sen}\theta}\,d\theta = \int \sqrt[3]{u}\,du.
Aqui usei que \sqrt[3]{\operatorname{sen}\theta}=(\operatorname{sen}\theta)^{1/3}=u^{1/3}, então a integral ficou \int u^{1/3}\,du.

Passo 5

Integrar \int u^{1/3}\,du usando a regra do poder (power rule). A regra do poder diz que, para n\neq -1,
\int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=\tfrac{1}{3}, logo n+1=\tfrac{4}{3}. Aplicando a regra:
\int u^{1/3}\,du=\frac{u^{4/3}}{4/3}+C.
Agora simplifico a fração dividindo por 4/3:
\frac{u^{4/3}}{4/3}= \frac{3}{4}\,u^{4/3}.

Passo 6

Voltar para a variável original \theta. Lembrando que u=\operatorname{sen}\theta, a primitiva em \theta é
\frac{3}{4}\,(\operatorname{sen}\theta)^{4/3}+C.
Explicação sobre constantes e domínio: a constante C é a constante de integração. A potência fracionária com expoente 1/3 (e 4/3) é bem definida para valores reais de \operatorname{sen}\theta usando raiz cúbica (que aceita negativos), então a primitiva é válida para todo \theta real com a interpretação usual de raiz cúbica real.

Passo 7

Verificação rápida (útil na prova): derivar a resposta para confirmar. Derivando
\frac{d}{d\theta}\left[\frac{3}{4}(\operatorname{sen}\theta)^{4/3}\right] = \frac{3}{4}\cdot\frac{4}{3}(\operatorname{sen}\theta)^{1/3}\cdot\cos\theta = \cos\theta\,(\operatorname{sen}\theta)^{1/3},
que é exatamente o integrando original. Logo a primitiva está correta.

Resposta

\dfrac{3}{4}(\operatorname{sen}\theta)^{4/3}+C

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