Calcule as integrais \int \frac{x^{2}}{3 \sqrt{x^{2}-4}} d x
Passo 1
O problema pede calcular a integral
\int \frac{x^{2}}{3 \sqrt{x^{2}-4}}\,dx.
Informações dadas:
A função integranda é \dfrac{x^{2}}{3\sqrt{x^{2}-4}}.
Quer-se uma primitiva (uma antiderivada) em termos de x.
Não há outras restrições explícitas (assume-se x em domínio onde \sqrt{x^{2}-4} está definido, ou seja |x|\ge 2).
Passo 2
Primeira simplificação: fatorar a constante \dfrac{1}{3} para fora da integral. Isso deixa
\frac{1}{3}\int \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}-4}}\,dx.
Para integrar expressões com \sqrt{x^{2}-a^{2}} é clássico usar uma substituição trigonométrica. Vou usar a substituição
x = 2\operatorname{sec}\theta,
porque com a=2 essa escolha transforma \sqrt{x^{2}-4} em uma função trigonométrica simples. Explico por quê:
Se x=2\operatorname{sec}\theta então x^{2}-4 = 4\operatorname{sec}^{2}\theta - 4 = 4(\operatorname{sec}^{2}\theta-1)=4\tan^{2}\theta, logo \sqrt{x^{2}-4}=2|\tan\theta|.
Para manter sinais simples assumimos \theta tal que \tan\theta\ge 0 (por exemplo 0\le\theta<\tfrac{\pi}{2} e x\ge2); isso permite escrever \sqrt{x^{2}-4}=2\tan\theta. (Se x\le-2 o resultado final continua válido com valores absolutos apropriados; constantes de integração cobrem diferenças de sinal.)
O integrando restante é \tan\theta\cdot\operatorname{sec}\theta\tan\theta=\operatorname{sec}\theta\tan^{2}\theta. Uso a identidade trigonométrica \tan^{2}\theta=\operatorname{sec}^{2}\theta-1 para reescrever:
O termo \ln\bigl|\tfrac{x+\sqrt{x^{2}-4}}{2}\bigr| pode ser separado em \ln|x+\sqrt{x^{2}-4}|-\ln 2; a constante -\tfrac{2}{3}\ln 2 é absorvida pela constante de integração C. Substituindo e simplificando: