Calcule as integrais
\int \frac{x^{2}}{3 \sqrt{x^{2}-4}} d x

Passo 1

O problema pede calcular a integral
\int \frac{x^{2}}{3 \sqrt{x^{2}-4}}\,dx.
Informações dadas:
  • A função integranda é \dfrac{x^{2}}{3\sqrt{x^{2}-4}}.
  • Quer-se uma primitiva (uma antiderivada) em termos de x.
  • Não há outras restrições explícitas (assume-se x em domínio onde \sqrt{x^{2}-4} está definido, ou seja |x|\ge 2).

Passo 2

Primeira simplificação: fatorar a constante \dfrac{1}{3} para fora da integral. Isso deixa
\frac{1}{3}\int \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}-4}}\,dx.
Para integrar expressões com \sqrt{x^{2}-a^{2}} é clássico usar uma substituição trigonométrica. Vou usar a substituição
x = 2\operatorname{sec}\theta,
porque com a=2 essa escolha transforma \sqrt{x^{2}-4} em uma função trigonométrica simples. Explico por quê:
  • Se x=2\operatorname{sec}\theta então x^{2}-4 = 4\operatorname{sec}^{2}\theta - 4 = 4(\operatorname{sec}^{2}\theta-1)=4\tan^{2}\theta, logo \sqrt{x^{2}-4}=2|\tan\theta|.
  • Para manter sinais simples assumimos \theta tal que \tan\theta\ge 0 (por exemplo 0\le\theta<\tfrac{\pi}{2} e x\ge2); isso permite escrever \sqrt{x^{2}-4}=2\tan\theta. (Se x\le-2 o resultado final continua válido com valores absolutos apropriados; constantes de integração cobrem diferenças de sinal.)
Também precisamos do diferencial:
dx = 2\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta.

Passo 3

Substituo tudo na integral. Primeiro escrevo x^{2} e \sqrt{x^{2}-4} em \theta:
x^{2} = 4\operatorname{sec}^{2}\theta,\qquad \sqrt{x^{2}-4}=2\tan\theta,\qquad dx=2\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta.
Agora a integral interna vira
\int \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}-4}}\,dx = \int \frac{4\operatorname{sec}^{2}\theta}{2\tan\theta}\cdot\bigl(2\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta\bigr).
Simplificando fatores: o \tan\theta do numerador e denominador se cancelam, e os constantes dão
\int \frac{4\operatorname{sec}^{2}\theta}{2\tan\theta}\cdot 2\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta = \int 4\operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta.
Portanto a integral original é
\frac{1}{3}\int \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{2}-4}}\,dx = \frac{1}{3}\cdot\int 4\operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta = \frac{4}{3}\int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta.

Passo 4

Agora preciso integrar \int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta. Vou usar integração por partes. Lembrete da fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde escolhemos u e dv de forma conveniente.
Escolho
u=\operatorname{sec}\theta,\qquad dv=\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta,
porque du=\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta e v=\tan\theta são fáceis. Então
\int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta = \int \operatorname{sec}\theta\cdot\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta = \operatorname{sec}\theta\cdot\tan\theta - \int \tan\theta\cdot(\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta).
O integrando restante é \tan\theta\cdot\operatorname{sec}\theta\tan\theta=\operatorname{sec}\theta\tan^{2}\theta. Uso a identidade trigonométrica \tan^{2}\theta=\operatorname{sec}^{2}\theta-1 para reescrever:
\int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta = \operatorname{sec}\theta\tan\theta - \int \operatorname{sec}\theta(\operatorname{sec}^{2}\theta-1)\,d\theta = \operatorname{sec}\theta\tan\theta - \int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta + \int \operatorname{sec}\theta\,d\theta.
Agora isolamos \int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta somando esse termo ao outro lado:
2\int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta = \operatorname{sec}\theta\tan\theta + \int \operatorname{sec}\theta\,d\theta.
Portanto
\int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta = \frac{1}{2}\operatorname{sec}\theta\tan\theta + \frac{1}{2}\int \operatorname{sec}\theta\,d\theta.
Lembrando que
\int \operatorname{sec}\theta\,d\theta = \ln\bigl|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\bigr| + C,
obtemos a forma fechada
\int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta = \frac{1}{2}\operatorname{sec}\theta\tan\theta + \frac{1}{2}\ln\bigl|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\bigr| + C.

Passo 5

Volto à integral com o fator \dfrac{4}{3}:
\frac{4}{3}\int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta = \frac{4}{3}\left(\frac{1}{2}\operatorname{sec}\theta\tan\theta + \frac{1}{2}\ln\bigl|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\bigr|\right) + C.
Simplificando os fatores \tfrac{4}{3}\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{2}{3}, isto é
\frac{4}{3}\int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta = \frac{2}{3}\operatorname{sec}\theta\tan\theta + \frac{2}{3}\ln\bigl|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\bigr| + C.

Passo 6

Agora volto à variável x. Lembre-se da substituição x=2\operatorname{sec}\theta. Assim
\operatorname{sec}\theta = \frac{x}{2},\qquad \tan\theta = \frac{\sqrt{x^{2}-4}}{2}.
Logo
\operatorname{sec}\theta\tan\theta = \frac{x}{2}\cdot\frac{\sqrt{x^{2}-4}}{2} = \frac{x\sqrt{x^{2}-4}}{4}.
E
\ln\bigl|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\bigr| = \ln\left|\frac{x}{2}+\frac{\sqrt{x^{2}-4}}{2}\right| = \ln\left|\frac{x+\sqrt{x^{2}-4}}{2}\right|.
O termo \ln\bigl|\tfrac{x+\sqrt{x^{2}-4}}{2}\bigr| pode ser separado em \ln|x+\sqrt{x^{2}-4}|-\ln 2; a constante -\tfrac{2}{3}\ln 2 é absorvida pela constante de integração C. Substituindo e simplificando:
\frac{2}{3}\operatorname{sec}\theta\tan\theta = \frac{2}{3}\cdot\frac{x\sqrt{x^{2}-4}}{4} = \frac{x\sqrt{x^{2}-4}}{6}.
Portanto uma primitiva conveniente é
\frac{x\sqrt{x^{2}-4}}{6} + \frac{2}{3}\ln\bigl|x+\sqrt{x^{2}-4}\bigr| + C.

Passo 7

Verificação rápida (opcional, mas bom para confiança): derivando
F(x)=\frac{x\sqrt{x^{2}-4}}{6} + \frac{2}{3}\ln\bigl|x+\sqrt{x^{2}-4}\bigr|
uma encontra \dfrac{x^{2}}{3\sqrt{x^{2}-4}}, confirmando que F'(x) é a integranda original. Portanto a antiderivada está correta.

Resposta

\frac{x\sqrt{x^{2}-4}}{6} + \frac{2}{3}\ln\bigl|x+\sqrt{x^{2}-4}\bigr| + C

Exercícios relacionados