Calcule \int_{0}^{2} x^{2} e^{2 x} d x
Dica 1: use ntegração por partes, mais de uma vez se necessário.
Dica 2: Revise/leia cuidadosamente a Seção 7.1 do Stewart (Integração por partes) ou as notas e vídeo-aulas do Prof. Wagner ou do Prof. Pedrosa (disponíveis no Moodle)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{0}^{2} x^{2}e^{2x}\,dx
usando o método de integração por partes (talvez mais de uma vez). A fórmula básica que vamos usar é
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 2

Escolhemos na primeira aplicação
u = x^{2}, \quad dv = e^{2x}\,dx.
Então
du = 2x\,dx, \quad v = \int e^{2x}\,dx = \tfrac12 e^{2x}.
Substituindo na fórmula de partes, obtemos
\int x^{2}e^{2x}\,dx = \frac12\,x^{2}e^{2x} - \int \Bigl(\tfrac12 e^{2x}\Bigr)\,(2x\,dx) = \frac12\,x^{2}e^{2x} - \int x\,e^{2x}\,dx.

Passo 3

Agora precisamos calcular
\int x\,e^{2x}\,dx.
Aplicamos integração por partes de novo, escolhendo
u_{1} = x, \quad dv_{1} = e^{2x}\,dx.
Então
du_{1} = dx, \quad v_{1} = \tfrac12 e^{2x}.
Logo
\int x\,e^{2x}\,dx = \frac12\,x\,e^{2x} - \int \Bigl(\tfrac12 e^{2x}\Bigr)\,dx = \frac12\,x\,e^{2x} - \frac14\,e^{2x} + C.

Passo 4

Substituindo esse resultado no que tínhamos em Passo 2 e agrupando as constantes num único C, fica
\int x^{2}e^{2x}\,dx = \frac12\,x^{2}e^{2x} - \biggl(\frac12\,x\,e^{2x} - \frac14\,e^{2x}\biggr) + C = e^{2x}\Bigl(\tfrac12 x^{2} - \tfrac12 x + \tfrac14\Bigr) + C.

Passo 5

Definindo
F(x) = e^{2x}\Bigl(\tfrac12 x^{2} - \tfrac12 x + \tfrac14\Bigr),
calculamos
F(2) = e^{4}\Bigl(2 - 1 + \tfrac14\Bigr) = e^{4}\cdot\tfrac54 \quad\text{e}\quad F(0) = e^{0}\cdot\tfrac14 = \tfrac14.
Portanto,
\int_{0}^{2} x^{2}e^{2x}\,dx = F(2) - F(0) = \frac54\,e^{4} - \frac14 = \frac{5e^{4} - 1}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{5e^{4} - 1}{4}

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