\iint \_R 4 x y^{2} d A, R=\{(x, y):-1 \leq x \leq 1,-2 \leq y \leq 2\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla \displaystyle \iint_{R}4xy^{2}\,dA
sobre o retângulo R = \{(x,y)\mid -1 \le x \le 1,\,-2 \le y \le 2\}.
O conteúdo envolvido é cálculo de integrais duplas em regiões retangulares e uso de simetria de função ímpar.

Passo 2

Como R é um retângulo e 4xy^{2} é contínua, aplicamos o Teorema de Fubini para separar as integrais:
\iint_{R}4xy^{2}\,dA =\int_{y=-2}^{2}\!\int_{x=-1}^{1}4xy^{2}\,dx\,dy.

Passo 3

Dentro da integral interna, y é tratado como constante, então
\int_{x=-1}^{1}4xy^{2}\,dx =4y^{2}\int_{-1}^{1}x\,dx.
Como x\mapsto x é função ímpar e o intervalo [-1,1] é simétrico, tem-se
\int_{-1}^{1}x\,dx = 0,
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\int_{x=-1}^{1}4xy^{2}\,dx = 4y^{2}\cdot 0 = 0.

Passo 4

Como a integral interna é zero para todo y, a integral externa também é zero:
\iint_{R}4xy^{2}\,dA =\int_{-2}^{2}0\,dy = 0.

Resposta

0

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