Uma determinada fábrica na Zona Franca de Manaus tem uma linha de montagem para fabricar um novo telefone celular. A taxa de produção desses celulares após \boldsymbol{t} semanas é
\frac{d x}{d t}=2000\left(1-100 \frac{1}{(t+10)^{2}}\right) aparelhos celulares/semana
Determine o número de celulares produzidos do começo da terceira semana até o final da sexta semana,
Obs.1: note que a taxa de produção tende a 2000 por semana à medida que passa o tempo, mas a produção inicial é baixa pois os trabalhadores não estão familiarizados com as novas técnicas.
Obs. 2: o período do começo da terceira semana até o final da sexta semana corresponde a 3 \leq t \leq 7 ? Ou a 3 \leq t \leq 6 ? Ou a \mathbf{2} \leq \boldsymbol{t} \leq \mathbf{6} ? Ou a \mathbf{2} \leq \boldsymbol{t} \leq \mathbf{7} ? Pense cuidadosamente sobre isto (veja a Dica 3)
Dica 3: de fato a Semana 1 corresponde a \mathbf{0} \leq \boldsymbol{t} \leq \mathbf{1}, a Semana 2 a \mathbf{1} \leq \boldsymbol{t} \leq \mathbf{2}, etc

Passo 1

O enunciado dá a taxa de produção de celulares após t semanas como
\frac{dx}{dt} = 2000\Bigl(1 - 100\,(t+10)^{-2}\Bigr)
e pede o número total de aparelhos produzidos do começo da terceira semana até o final da sexta. Vamos modelar cada semana em termos de t, definir os limites de integração e calcular a integral da taxa.

Passo 2

Como a Semana 1 é 0\le t\le1, a Semana 2 é 1\le t\le2, a Semana 3 é 2\le t\le3, …, e a Semana 6 é 5\le t\le6.
Logo, “começo da terceira semana” corresponde a t=2 e “final da sexta semana” a t=6.
Portanto, vamos integrar de t=2 até t=6.

Passo 3

Calculamos a primitiva de
2000\Bigl(1 - 100\,(t+10)^{-2}\Bigr).
Separe em duas integrais:
\int 2000\,dt = 2000\,t,
\int 2000\bigl(-100\,(t+10)^{-2}\bigr)\,dt = -200000\int (t+10)^{-2}dt = -200000\Bigl(-\frac1{t+10}\Bigr) = \frac{200000}{t+10}.
Logo, uma primitiva é
F(t) = 2000\,t + \frac{200000}{t+10}.

Passo 4

Aplicamos os limites de 2 a 6:
\begin{aligned} F(6) &= 2000\cdot 6 + \frac{200000}{16} = 12000 + 12500 = 24500,\\\ F(2) &= 2000\cdot 2 + \frac{200000}{12} = 4000 + 16666,\overline{6} = 20666,\overline{6}. \end{aligned}
Subtraindo,
\int_{2}^{6}\frac{dx}{dt}\,dt = F(6)-F(2) = 24500 - 20666,\overline{6} = 3833,\overline{3} = \frac{11500}{3}.

Resposta

O número de celulares produzidos do começo da terceira semana ao final da sexta é
\frac{11500}{3}\approx 3833{,}33\text{ aparelhos.}

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