Determine o valor de \boldsymbol{k} de modo que
\int_{k}^{5} \frac{4}{2 x+3} d x=0.33410816932633

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o valor de k tal que a integral definida
\int_{k}^{5}\frac{4}{2x+3}\,dx
seja igual a 0,33410816932633. Vamos usar o cálculo de antiderivada e, em seguida, resolver a equação gerada pelo valor da integral.

Passo 2

Calcular a primitiva de \tfrac{4}{2x+3}. Fazendo a substituição u=2x+3, temos du=2\,dx e dx=\tfrac{du}{2}. Logo,
\int \frac{4}{2x+3}\,dx = \int \frac{4}{u}\,\frac{du}{2} =2\int \frac{1}{u}\,du =2\ln\lvert u\rvert + C =2\ln\lvert 2x+3\rvert + C.

Passo 3

Usando a primitiva F(x)=2\ln\lvert 2x+3\rvert, a integral de k a 5 é
F(5)-F(k) =2\ln(2\cdot5+3)-2\ln(2k+3) =2\bigl[\ln(13)-\ln(2k+3)\bigr] =2\ln\!\Bigl(\frac{13}{2k+3}\Bigr).

Passo 4

Impor que o valor da integral seja 0,33410816932633:
2\ln\!\Bigl(\frac{13}{2k+3}\Bigr) =0{,}33410816932633.
Dividindo por 2,
\ln\!\Bigl(\frac{13}{2k+3}\Bigr) =0{,}167054084663165.
Aplicando exponencial em ambos os lados,
\frac{13}{2k+3} =\exp\bigl(0{,}167054084663165\bigr).

Passo 5

Calcular numericamente \exp(0{,}167054084663165)\approx1{,}18179. Logo,
2k+3 =\frac{13}{1{,}18179}\approx11,
que dá
2k\approx8 \quad\Longrightarrow\quad k\approx4.

Resposta

k = 4

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