Calcule
\int x \operatorname{cosh} (x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x \operatorname{cosh}(x)\,dx.
Informações dadas: a integranda é o produto de x (uma função polinomial simples) por \operatorname{cosh}(x) (a função cosseno hiperbólica). O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=x\operatorname{cosh}(x). A resposta final deve incluir a constante de integração C.

Passo 2

Vamos lembrar uma ferramenta útil: a fórmula de integração por partes. Ela permite integrar produtos de funções e é escrita como
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Aqui u e v são funções de x, du é a derivada de u multiplicada por dx e dv é algo que integramos para obter v. Explicando cada símbolo: u é a parte que escolhemos para derivar (ficará mais simples), dv é a parte que integramos (deve ser integrável facilmente), du é u'\,dx e v é uma primitiva de dv.
Também precisamos saber as derivadas/integrais das funções hiperbólicas básicas:
  • \dfrac{d}{dx}\operatorname{sinh}(x)=\operatorname{cosh}(x).
  • \dfrac{d}{dx}\operatorname{cosh}(x)=\operatorname{sinh}(x).
  • Portanto uma primitiva de \operatorname{cosh}(x) é \operatorname{sinh}(x) e uma primitiva de \operatorname{sinh}(x) é \operatorname{cosh}(x).

Passo 3

Escolha das partes para a integração por partes. Como de costume, escolhemos u como a parte que fica mais simples ao derivar — aqui o polinômio x — e dv como o restante:
u = x,\qquad dv = \operatorname{cosh}(x)\,dx.
Justificativa informal: derivar x dá algo mais simples ( 1), e integrar \operatorname{cosh}(x) é direto ( \operatorname{sinh}(x)). Essa escolha reduz a ordem de complexidade.

Passo 4

Calcule du e v a partir da escolha:
du = d(x)=1\cdot dx = dx,
v = \int \operatorname{cosh}(x)\,dx = \operatorname{sinh}(x).
Aqui usei que a primitiva de \operatorname{cosh}(x) é \operatorname{sinh}(x), conforme lembramos no Passo 2.

Passo 5

Aplique a fórmula de integração por partes:
\int x\operatorname{cosh}(x)\,dx = u v - \int v\,du.
Substituindo u, v e du obtidos:
\int x\operatorname{cosh}(x)\,dx = x\cdot\operatorname{sinh}(x) - \int \operatorname{sinh}(x)\,dx.

Passo 6

Agora integramos \operatorname{sinh}(x). Como anotado antes, uma primitiva de \operatorname{sinh}(x) é \operatorname{cosh}(x). Então
\int \operatorname{sinh}(x)\,dx = \operatorname{cosh}(x).

Passo 7

Substituindo esse resultado no Passo 5:
\int x\operatorname{cosh}(x)\,dx = x\operatorname{sinh}(x) - \operatorname{cosh}(x) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 8

Verificação rápida (bom hábito na prova): derivando a resposta encontramos a integranda original. Derivada de x\operatorname{sinh}(x)-\operatorname{cosh}(x):
usar regra do produto para x\operatorname{sinh}(x):
\frac{d}{dx}\big(x\operatorname{sinh}(x)\big) = 1\cdot\operatorname{sinh}(x) + x\cdot\operatorname{cosh}(x).
Derivada de -\operatorname{cosh}(x) é -\operatorname{sinh}(x). Somando:
\operatorname{sinh}(x) + x\operatorname{cosh}(x) - \operatorname{sinh}(x) = x\operatorname{cosh}(x),
que é exatamente a integranda. Bingo — está correto.

Resposta

x\operatorname{sinh}(x)-\operatorname{cosh}(x)+C

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