Calcule
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas: a integranda é o produto de
(uma função polinomial simples) por
(a função cosseno hiperbólica). O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função
tal que
. A resposta final deve incluir a constante de integração
.
Passo 2
Vamos lembrar uma ferramenta útil: a fórmula de integração por partes. Ela permite integrar produtos de funções e é escrita como
Aqui
e
são funções de
,
é a derivada de
multiplicada por
e
é algo que integramos para obter
. Explicando cada símbolo:
é a parte que escolhemos para derivar (ficará mais simples),
é a parte que integramos (deve ser integrável facilmente),
é
e
é uma primitiva de
.
Também precisamos saber as derivadas/integrais das funções hiperbólicas básicas:
-
. -
. - Portanto uma primitiva de
é e uma primitiva de é .
Passo 3
Escolha das partes para a integração por partes. Como de costume, escolhemos
como a parte que fica mais simples ao derivar — aqui o polinômio
— e
como o restante:
Justificativa informal: derivar
dá algo mais simples (
), e integrar
é direto (
). Essa escolha reduz a ordem de complexidade.
Passo 4
Calcule
e
a partir da escolha:
Aqui usei que a primitiva de
é
, conforme lembramos no Passo 2.
Passo 5
Aplique a fórmula de integração por partes:
Substituindo
,
e
obtidos:
Passo 6
Agora integramos
. Como anotado antes, uma primitiva de
é
. Então
Passo 7
Substituindo esse resultado no Passo 5:
onde
é a constante de integração.
Passo 8
Verificação rápida (bom hábito na prova): derivando a resposta encontramos a integranda original. Derivada de
:
usar regra do produto para :
usar regra do produto para
Derivada de
é
. Somando:
que é exatamente a integranda. Bingo — está correto.