Calcule
\int_{0}^{\pi / 2} \sqrt{\cos \theta} \operatorname{sen} \theta d \theta

Passo 1

Enunciado: calcular
\int_{0}^{\pi/2} \sqrt{\cos\theta}\;\operatorname{sen}\theta\,d\theta.
Informações dadas:
\displaystyle o integrando é \sqrt{\cos\theta}\,\operatorname{sen}\theta.
\displaystyle os limites de integração são \theta=0 até \theta=\pi/2.
\displaystyle objetivo: encontrar o valor numérico dessa integral definida.

Passo 2

Idéia de resolução (sem resolver ainda): queremos eliminar a mistura de \cos\theta e \operatorname{sen}\theta\,d\theta. Uma técnica padrão é fazer a mudança de variável u=\cos\theta, porque então a raiz de \cos\theta vira uma potência simples de u e \operatorname{sen}\theta\,d\theta se relaciona com du. Vou explicar passo a passo por que isso funciona.

Passo 3

Calcule a diferencial quando fazemos u=\cos\theta.
u=\cos\theta \quad\Rightarrow\quad du = -\sin\theta\,d\theta.
Portanto
\sin\theta\,d\theta = -\,du.
Comentário didático: aqui usamos a regra da derivada da função cosseno. A relação entre d\theta e du é o que nos permite trocar a variável de integração.

Passo 4

Transforme o integrando usando u. Primeiro note que
\sqrt{\cos\theta} = (\cos\theta)^{1/2} = u^{1/2}.
Substituindo também \sin\theta\,d\theta = -du, a integral em \theta fica, antes de ajustar os limites,
\int \sqrt{\cos\theta}\;\sin\theta\,d\theta = \int u^{1/2}(-du) = -\int u^{1/2}\,du.

Passo 5

Ajuste os limites de integração para a nova variável u. Quando \theta=0,
u=\cos 0 = 1.
Quando \theta=\pi/2,
u=\cos(\pi/2)=0.
Portanto a integral definida original transforma-se em
\int_{0}^{\pi/2} \sqrt{\cos\theta}\;\sin\theta\,d\theta = -\int_{u=1}^{u=0} u^{1/2}\,du.
Trocando a ordem dos limites para eliminar o sinal negativo,
-\int_{1}^{0} u^{1/2}\,du = \int_{0}^{1} u^{1/2}\,du.

Passo 6

Agora integramos \displaystyle\int_{0}^{1} u^{1/2}\,du. Usamos a regra básica de potências:
para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n=\tfrac{1}{2}, logo a antiderivada é
\frac{u^{(1/2)+1}}{(1/2)+1} = \frac{u^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}u^{3/2}.
Comentário didático: essa fórmula vem de se diferenciar u^{n+1}/(n+1) — ao derivar volta-se para u^n.

Passo 7

Avalie a antiderivada entre 0 e 1:
\int_{0}^{1} u^{1/2}\,du = \left.\frac{2}{3}u^{3/2}\right|_{0}^{1} = \frac{2}{3}\bigl(1^{3/2}-0^{3/2}\bigr).
Como 1^{3/2}=1 e 0^{3/2}=0, obtemos
\int_{0}^{1} u^{1/2}\,du = \frac{2}{3}.

Passo 8

Conclusão: o valor da integral original é \displaystyle\frac{2}{3}. Parabéns: fizemos a transformação que simplificou a raiz e usamos a regra da potência para integrar de forma direta.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{3}

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