Informações dadas: \displaystyle o integrando é \sqrt{\cos\theta}\,\operatorname{sen}\theta. \displaystyle os limites de integração são \theta=0 até \theta=\pi/2. \displaystyle objetivo: encontrar o valor numérico dessa integral definida.
Passo 2
Idéia de resolução (sem resolver ainda): queremos eliminar a mistura de \cos\theta e \operatorname{sen}\theta\,d\theta. Uma técnica padrão é fazer a mudança de variável u=\cos\theta, porque então a raiz de \cos\theta vira uma potência simples de u e \operatorname{sen}\theta\,d\theta se relaciona com du. Vou explicar passo a passo por que isso funciona.
Passo 3
Calcule a diferencial quando fazemos u=\cos\theta.
u=\cos\theta \quad\Rightarrow\quad du = -\sin\theta\,d\theta.
Portanto
\sin\theta\,d\theta = -\,du.
Comentário didático: aqui usamos a regra da derivada da função cosseno. A relação entre d\theta e du é o que nos permite trocar a variável de integração.
Passo 4
Transforme o integrando usando u. Primeiro note que
\sqrt{\cos\theta} = (\cos\theta)^{1/2} = u^{1/2}.
Substituindo também \sin\theta\,d\theta = -du, a integral em \theta fica, antes de ajustar os limites,
Conclusão: o valor da integral original é \displaystyle\frac{2}{3}. Parabéns: fizemos a transformação que simplificou a raiz e usamos a regra da potência para integrar de forma direta.