Calcule.
\int x \sqrt{1+3 x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x \sqrt{1 + 3x^2}\,dx.
O conteúdo principal aqui é método de substituição (u-substituição), pois enxergamos uma parte interna 1+3x^2 cuja derivada aparece junto.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 1 + 3x^2\
derivando, obtemos
du = 6x\,dx\
e então
x\,dx = \frac{1}{6}\,du.
Substituindo na integral original, temos
\int x \sqrt{1 + 3x^2}\,dx = \int \sqrt{u}\,\frac{1}{6}\,du = \frac{1}{6} \int u^{\tfrac12}\,du.

Passo 3

Agora integramos u^{\tfrac12}:
\int u^{\tfrac12}\,du = \frac{u^{\tfrac32}}{\tfrac32} + C = \frac{2}{3}\,u^{\tfrac32} + C.
Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{6}, obtemos
\frac{1}{6}\cdot \frac{2}{3}\,u^{\tfrac32} + C = \frac{1}{9}\,u^{\tfrac32} + C.

Passo 4

Voltando à variável x, lembrando que u = 1+3x^2, a antiderivada é
\frac{1}{9}\,(1 + 3x^2)^{\tfrac32} + C.

Resposta

\frac{1}{9}(1 + 3x^2)^{\tfrac32} + C

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