Calcule.
\int e^{x} \sqrt{1+e^{x}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida \displaystyle \int e^{x}\sqrt{1+e^{x}}\;d x.
Aqui vamos usar substituição porque a derivada de e^{x} aparece multiplicando a raiz.

Passo 2

Fazemos a troca
t = 1 + e^{x},\quad d t = e^{x}\,d x,
então e^{x}\,d x é exatamente d t.

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
\int \sqrt{t}\,d t \;=\;\int t^{1/2}\,d t.

Passo 4

Para integrar t^{1/2} usamos a regra \displaystyle\int t^{n}\,d t = \tfrac{t^{n+1}}{n+1}+C.
Logo,
\int t^{1/2}\,d t = \frac{t^{3/2}}{\tfrac{3}{2}} + C = \frac{2}{3}t^{3/2} + C.

Passo 5

Voltando à variável x com t=1+e^{x}, o resultado final é
\frac{2}{3}(1+e^{x})^{3/2} + C.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{3}(1+e^{x})^{3/2} + C

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