Resolva os seguintes problemas de valor inicial pela transformada de Laplace. (Caso necessário, utilize uma expansão em frações parciais, como no Exemplo 4. Mostre todos os detalhes do que fizer.)
y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=0,
y(0)=2,1, \quad y^{\prime}(0)=3,

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e as condições iniciais e pede a solução da EDO por transformada de Laplace. Informações fornecidas:
y'' - 4y' + 4y = 0
y(0)=2,1,\quad y'(0)=3.
A tarefa é encontrar a função y(t) que satisfaz a EDO e essas condições iniciais, usando a transformada de Laplace e mostrando todos os passos.

Passo 2

Vou lembrar e explicar as propriedades da transformada de Laplace que vou usar (isso é importante para aplicar a técnica na prova).
A transformada de Laplace de uma função y(t) é definida por
\mathcal{L}\{y(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}y(t)\,dt.
Denotamos Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s).
Propriedades fundamentais que usaremos (explicadas de forma direta):
  • Transformada da derivada primeira: se y e y' são razoáveis então
\mathcal{L}\{y'(t)\}(s)=sY(s)-y(0).
Isso vem de integrar por partes a integral da definição: a derivada transforma num multiplicador s menos a condição inicial.
  • Transformada da derivada segunda:
\mathcal{L}\{y''(t)\}(s)=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0).
Novamente é resultado de aplicar a propriedade da derivada duas vezes.
Transformadas básicas para inverter:
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s-a}\right\}(t)=e^{at}, \qquad \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{(s-a)^{2}}\right\}(t)=t e^{at}.
Essas duas fórmulas são essenciais para obter y(t) a partir de Y(s).

Passo 3

Agora aplico a transformada de Laplace em ambos os lados da EDO termo a termo.
Transformando y'' obtemos
\mathcal{L}\{y''\}=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0).
Transformando -4y' obtemos
\mathcal{L}\{-4y'\}=-4\big(sY(s)-y(0)\big)=-4sY(s)+4y(0).
Transformando 4y obtemos
\mathcal{L}\{4y\}=4Y(s).
Somando essas transformadas e igualando a transformada do lado direito (que é zero) temos:
\big(s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0)\big) + \big(-4sY(s)+4y(0)\big) + 4Y(s)=0.
Agora substituo as condições iniciais \;y(0)=2,1\; e \;y'(0)=3\; (lembre que usamos a vírgula como separador decimal, conforme o enunciado). Primeiro agrupo os termos em Y(s):
\big(s^{2}-4s+4\big)Y(s) - s\,y(0) - y'(0) + 4y(0)=0.
Note que s^{2}-4s+4=(s-2)^{2}. Então:
(s-2)^{2}Y(s) = s\,y(0) + y'(0) - 4y(0).
Substituo y(0)=2,1 e y'(0)=3:
(s-2)^{2}Y(s) = s\cdot 2,1 + 3 - 4\cdot 2,1.
Calculo os termos constantes: 4\cdot 2,1=8,4. Então
(s-2)^{2}Y(s) = 2,1s + 3 - 8,4 = 2,1s - 5,4.
Portanto
Y(s)=\frac{2,1s - 5,4}{(s-2)^{2}}.

Passo 4

Agora preciso inverter Y(s). Para inverter é conveniente decompor a expressão em termos de \dfrac{1}{s-2} e \dfrac{1}{(s-2)^{2}}, pois já sei as inversas dessas formas.
Faço a manipulação algébrica para escrever o numerador como combinação de (s-2) e constante:
2,1s - 5,4 = 2,1(s-2) + \big(2,1\cdot 2 - 5,4\big).
Calculo 2,1\cdot 2 = 4,2. Então a constante é 4,2 - 5,4 = -1,2. Logo
2,1s - 5,4 = 2,1(s-2) - 1,2.
Dividindo por (s-2)^{2} obtenho
Y(s) = \frac{2,1(s-2)}{(s-2)^{2}} - \frac{1,2}{(s-2)^{2}}.
Simplificando o primeiro quociente:
Y(s) = \frac{2,1}{s-2} - \frac{1,2}{(s-2)^{2}}.

Passo 5

Agora inverto termo a termo usando as fórmulas de inversão que listei.
Para o primeiro termo, como \mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{1}{s-2}\}=e^{2t}, obtemos
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{2,1}{s-2}\right\}=2,1\,e^{2t}.
Para o segundo termo, como \mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{1}{(s-2)^{2}}\}=t e^{2t}, obtemos
\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1,2}{(s-2)^{2}}\right\}=1,2\,t e^{2t}.
Subtraindo (porque o segundo termo tem sinal negativo em Y(s)) temos a solução:
y(t)=2,1\,e^{2t} - 1,2\,t e^{2t}.

Passo 6

Faço uma verificação rápida das condições iniciais para ganhar confiança no resultado.
Avalio y(0):
y(0)=2,1\cdot e^{0} - 1,2\cdot 0 \cdot e^{0}=2,1,
ok.
Calculo y'(t) para verificar y'(0)=3. Uso regra do produto:
y(t)=(2,1 - 1,2t)e^{2t}.
Então
y'(t)=\big(-1,2\big)e^{2t} + (2,1 - 1,2t)\cdot 2 e^{2t}.
Agrupando:
y'(t)=\big(-1,2 + 2(2,1 - 1,2t)\big)e^{2t} =\big(-1,2 + 4,2 - 2,4t\big)e^{2t} =\big(3 - 2,4t\big)e^{2t}.
Assim y'(0)=3\cdot e^{0}=3, conforme dado. Verificação OK.

Resposta

y(t)=\big(2,1 - 1,2\,t\big)e^{2t}

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