Resolva os seguintes problemas de valor inicial pela transformada de Laplace. (Caso necessário, utilize uma expansão em frações parciais, como no Exemplo 4. Mostre todos os detalhes do que fizer.)
,
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e as condições iniciais e pede a solução da EDO por transformada de Laplace. Informações fornecidas:
A tarefa é encontrar a função
que satisfaz a EDO e essas condições iniciais, usando a transformada de Laplace e mostrando todos os passos.
Passo 2
Vou lembrar e explicar as propriedades da transformada de Laplace que vou usar (isso é importante para aplicar a técnica na prova).
A transformada de Laplace de uma função
é definida por
Denotamos
.
Propriedades fundamentais que usaremos (explicadas de forma direta):
- Transformada da derivada primeira: se
e são razoáveis então
Isso vem de integrar por partes a integral da definição: a derivada transforma num multiplicador
menos a condição inicial.
- Transformada da derivada segunda:
Novamente é resultado de aplicar a propriedade da derivada duas vezes.
Transformadas básicas para inverter:
Essas duas fórmulas são essenciais para obter
a partir de
.
Passo 3
Agora aplico a transformada de Laplace em ambos os lados da EDO termo a termo.
Transformando
obtemos
Transformando
obtemos
Transformando
obtemos
Somando essas transformadas e igualando a transformada do lado direito (que é zero) temos:
Agora substituo as condições iniciais
e
(lembre que usamos a vírgula como separador decimal, conforme o enunciado). Primeiro agrupo os termos em
:
Note que
. Então:
Substituo
e
:
Calculo os termos constantes:
. Então
Portanto
Passo 4
Agora preciso inverter
. Para inverter é conveniente decompor a expressão em termos de
e
, pois já sei as inversas dessas formas.
Faço a manipulação algébrica para escrever o numerador como combinação de
e constante:
Calculo
. Então a constante é
. Logo
Dividindo por
obtenho
Simplificando o primeiro quociente:
Passo 5
Agora inverto termo a termo usando as fórmulas de inversão que listei.
Para o primeiro termo, como
, obtemos
Para o segundo termo, como
, obtemos
Subtraindo (porque o segundo termo tem sinal negativo em
) temos a solução:
Passo 6
Faço uma verificação rápida das condições iniciais para ganhar confiança no resultado.
Avalio
:
ok.
Calculo
para verificar
. Uso regra do produto:
Então
Agrupando:
Assim
, conforme dado. Verificação OK.