Calcule \int_{0}^{1} \int_{0}^{x} \sqrt{x^{2}+y^{2}} d y d x usando
a. coordenadas polares
b. A transformação x=u, y=u v

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral dupla
\iint_{D} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\,dy\,dx
onde a região D é dada por
  • 0\le y\le x\le 1.
As tarefas são:
a. Calcular a integral usando coordenadas polares.
b. Calcular a mesma integral usando a transformação x=u,\;y=uv.
Informações relevantes que temos do enunciado:
  • O integrando é \sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • A região D é o triângulo no primeiro quadrante com vértices em (0,0), (1,0) e (1,1) (porque para x=1 temos 0\le y\le1).
  • Não há dependência externa (constantes), então esperamos o mesmo resultado em (a) e (b).

Passo 2

(a) Passo inicial em coordenadas polares: lembrar as fórmulas básicas.
  • Em coordenadas polares usamos \;x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta\;.
  • A distância radial é r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • O elemento de área vira \;dA = r\,dr\,d\theta\; (esse r é o jacobiano da transformação).
    Agora descrevemos a região D em termos de r e \theta.
  • A reta y=0 corresponde a \theta=0.
  • A reta y=x corresponde a \theta=\pi/4.
  • A reta vertical x=1 corresponde a r\cos\theta=1, ou seja \;r=\dfrac{1}{\cos\theta}.
    Como D está no primeiro quadrante entre y=0 e y=x com 0\le x\le1, os limites são
0\le \theta\le \frac{\pi}{4},\qquad 0\le r\le \frac{1}{\cos\theta}.

Passo 3

Montar a integral em polares e simplificar o integrando.
  • O integrando original é \sqrt{x^{2}+y^{2}}=r.
  • O elemento de área é r\,dr\,d\theta.
    Portanto a integral fica
\iint_{D}\sqrt{x^{2}+y^{2}}\,dA = \int_{0}^{\pi/4}\int_{0}^{1/\cos\theta} r\cdot r\,dr\,d\theta = \int_{0}^{\pi/4}\int_{0}^{1/\cos\theta} r^{2}\,dr\,d\theta.
Calcular a integral interna em r:
\int_{0}^{1/\cos\theta} r^{2}\,dr = \left.\frac{r^{3}}{3}\right|_{0}^{1/\cos\theta} = \frac{1}{3}\frac{1}{\cos^{3}\theta} = \frac{1}{3}\operatorname{sec}^{3}\theta.
Logo a integral reduz-se a
\frac{1}{3}\int_{0}^{\pi/4}\operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta.

Passo 4

Calcular \displaystyle \int_{0}^{\pi/4}\operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta.
Primeiro obter uma primitiva de \operatorname{sec}^{3}\theta. Usamos integração por partes com
  • u=\operatorname{sec}\theta, então du=\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta.
  • dv=\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta, então v=\tan\theta.
    Aplicando integração por partes:
\int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta = \operatorname{sec}\theta\tan\theta - \int \tan\theta(\operatorname{sec}\theta\tan\theta)\,d\theta.
Reescrever \tan^{2}\theta=\operatorname{sec}^{2}\theta-1
\int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta = \operatorname{sec}\theta\tan\theta - \int \operatorname{sec}\theta(\operatorname{sec}^{2}\theta-1)\,d\theta = \operatorname{sec}\theta\tan\theta - \int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta + \int \operatorname{sec}\theta\,d\theta.
Isolando \int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta:
2\int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta = \operatorname{sec}\theta\tan\theta + \int \operatorname{sec}\theta\,d\theta.
Sabendo que \displaystyle \int \operatorname{sec}\theta\,d\theta = \ln\!\bigl|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\bigr| + C, obtemos
\int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta = \frac{1}{2}\operatorname{sec}\theta\tan\theta + \frac{1}{2}\ln\!\bigl|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\bigr| + C.
Agora avaliaremos de 0 a \pi/4.
  • Em \theta=\pi/4: \operatorname{sec}\theta=\sqrt{2}, \tan\theta=1. Então
\frac{1}{2}\operatorname{sec}\theta\tan\theta + \frac{1}{2}\ln(\operatorname{sec}\theta+\tan\theta) = \frac{1}{2}\sqrt{2} + \frac{1}{2}\ln\!\bigl(\sqrt{2}+1\bigr).
  • Em \theta=0: \operatorname{sec} 0=1,\;\tan 0=0. Então a primitiva dá 0+\frac{1}{2}\ln(1)=0.
    Portanto
\int_{0}^{\pi/4}\operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta = \frac{1}{2}\sqrt{2} + \frac{1}{2}\ln\!\bigl(\sqrt{2}+1\bigr).
Multiplicando pelo fator \dfrac{1}{3} obtido no passo anterior,
\iint_{D}\sqrt{x^{2}+y^{2}}\,dA = \frac{1}{3}\left(\frac{1}{2}\sqrt{2} + \frac{1}{2}\ln\!\bigl(\sqrt{2}+1\bigr)\right) = \frac{1}{6}\Bigl(\sqrt{2}+\ln\!\bigl(\sqrt{2}+1\bigr)\Bigr).

Passo 5

(b) Agora usar a transformação x=u,\;y=uv. Primeiro entender a transformação e a nova região.
  • A transformação é (u,v)\mapsto(x,y)=(u,uv).
  • Inversamente, u=x, v=y/x (quando x>0). Na nossa região x varia de 0 a 1, então é adequada.
    Determinar a nova região R em (u,v):
  • Como 0\le y\le x e x=u, temos 0\le uv\le u. Para u\ge0 isso dá 0\le v\le 1.
  • Como 0\le x\le 1 isto é 0\le u\le 1.
    Logo R=\{(u,v)\mid 0\le u\le1,\;0\le v\le1\}, um quadrado unitário no plano uv.

Passo 6

Calcular o jacobiano e transformar o integrando.
  • A matriz jacobiana é
\begin{pmatrix} \dfrac{\partial x}{\partial u} & \dfrac{\partial x}{\partial v}\\[6pt] \dfrac{\partial y}{\partial u} & \dfrac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[6pt] v & u \end{pmatrix}.
  • O determinante (jacobiano) é \;J = 1\cdot u - 0\cdot v = u.
  • O integrando transforma como
\sqrt{x^{2}+y^{2}} = \sqrt{u^{2} + u^{2}v^{2}} = u\sqrt{1+v^{2}}.
Multiplicando pelo jacobiano, o integrando em u,v é
u\sqrt{1+v^{2}}\cdot |J| = u\sqrt{1+v^{2}}\cdot u = u^{2}\sqrt{1+v^{2}}.
Portanto a integral passa a ser
\iint_{D}\sqrt{x^{2}+y^{2}}\,dA = \int_{u=0}^{1}\int_{v=0}^{1} u^{2}\sqrt{1+v^{2}}\,dv\,du.]

Passo 7

Calcular a integral separando em produto (já que a função é produto de uma função de u por outra de v).
\int_{u=0}^{1}\int_{v=0}^{1} u^{2}\sqrt{1+v^{2}}\,dv\,du = \left(\int_{0}^{1}u^{2}\,du\right)\left(\int_{0}^{1}\sqrt{1+v^{2}}\,dv\right).
Calcular cada uma:
  • \displaystyle \int_{0}^{1}u^{2}\,du = \left.\frac{u^{3}}{3}\right|_{0}^{1} = \frac{1}{3}.
  • Para \displaystyle \int_{0}^{1}\sqrt{1+v^{2}}\,dv usar a primitiva conhecida (pode obter-se por substituição hiperbólica v=\operatorname{sinh} t ou por tabuada de integrais):
\int \sqrt{1+v^{2}}\,dv = \frac{1}{2}\Bigl(v\sqrt{1+v^{2}} + \ln\!\bigl(v+\sqrt{1+v^{2}}\bigr)\Bigr) + C.
Avaliar de 0 a 1:
\int_{0}^{1}\sqrt{1+v^{2}}\,dv = \frac{1}{2}\Bigl(1\cdot\sqrt{2} + \ln\!\bigl(1+\sqrt{2}\bigr)\Bigr) - 0 = \frac{1}{2}\Bigl(\sqrt{2} + \ln\!\bigl(1+\sqrt{2}\bigr)\Bigr).
Multiplicando pelos fatores:
\left(\frac{1}{3}\right)\left(\frac{1}{2}\bigl(\sqrt{2}+\ln(1+\sqrt{2})\bigr)\right) = \frac{1}{6}\Bigl(\sqrt{2}+\ln\!\bigl(1+\sqrt{2}\bigr)\Bigr).

Passo 8

Conclusão: os dois métodos dão o mesmo resultado, como deveria acontecer. O valor final da integral é
\frac{1}{6}\Bigl(\sqrt{2}+\ln\!\bigl(1+\sqrt{2}\bigr)\Bigr).

Resposta

a) \displaystyle \frac{1}{6}\Bigl(\sqrt{2}+\ln\!\bigl(1+\sqrt{2}\bigr)\Bigr)
b) \displaystyle \frac{1}{6}\Bigl(\sqrt{2}+\ln\!\bigl(1+\sqrt{2}\bigr)\Bigr)

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