Calcule \int_{0}^{1} \int_{0}^{x} \sqrt{x^{2}+y^{2}} d y d x usando
a. coordenadas polares
b. A transformação x=u, y=u v
Passo 1
O enunciado pede o valor da integral dupla
\iint_{D} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\,dy\,dx
onde a região D é dada por
0\le y\le x\le 1.
As tarefas são:
a. Calcular a integral usando coordenadas polares.
b. Calcular a mesma integral usando a transformação x=u,\;y=uv.
Informações relevantes que temos do enunciado:
O integrando é \sqrt{x^{2}+y^{2}}.
A região D é o triângulo no primeiro quadrante com vértices em (0,0), (1,0) e (1,1) (porque para x=1 temos 0\le y\le1).
Não há dependência externa (constantes), então esperamos o mesmo resultado em (a) e (b).
Passo 2
(a) Passo inicial em coordenadas polares: lembrar as fórmulas básicas.
Em coordenadas polares usamos \;x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta\;.
A distância radial é r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
O elemento de área vira \;dA = r\,dr\,d\theta\; (esse r é o jacobiano da transformação).
Agora descrevemos a região D em termos de r e \theta.
A reta y=0 corresponde a \theta=0.
A reta y=x corresponde a \theta=\pi/4.
A reta vertical x=1 corresponde a r\cos\theta=1, ou seja \;r=\dfrac{1}{\cos\theta}.
Como D está no primeiro quadrante entre y=0 e y=x com 0\le x\le1, os limites são
Calcular \displaystyle \int_{0}^{\pi/4}\operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta.
Primeiro obter uma primitiva de \operatorname{sec}^{3}\theta. Usamos integração por partes com
u=\operatorname{sec}\theta, então du=\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta.
dv=\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta, então v=\tan\theta.
Aplicando integração por partes:
Para \displaystyle \int_{0}^{1}\sqrt{1+v^{2}}\,dv usar a primitiva conhecida (pode obter-se por substituição hiperbólica v=\operatorname{sinh} t ou por tabuada de integrais):
\int \sqrt{1+v^{2}}\,dv = \frac{1}{2}\Bigl(v\sqrt{1+v^{2}} + \ln\!\bigl(v+\sqrt{1+v^{2}}\bigr)\Bigr) + C.
a) \displaystyle \frac{1}{6}\Bigl(\sqrt{2}+\ln\!\bigl(1+\sqrt{2}\bigr)\Bigr)
b) \displaystyle \frac{1}{6}\Bigl(\sqrt{2}+\ln\!\bigl(1+\sqrt{2}\bigr)\Bigr)