Defina uma transformação
tal que
, onde
plano
e
plano
é o círculo unitário com centro em
.
Passo 1
O enunciado pede que seja definida uma transformação
que leva o quadrado
no plano
sobre o disco unitário
no plano
cujo centro é
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Domínio:
. - Imagem alvo:
(disco de raio centrado em ).
O objetivo: apresentar uma funçãotal que .
Passo 2
Ideia principal (intuição): pontos do disco são naturalmente descritos em coordenadas polares pela combinação de um raio
e um ângulo
. Então basta transformar o quadrado
em pares
apropriados e usar a fórmula polar centrada em
. Vou explicar o conceito de coordenadas polares de forma rápida e prática.
Conceito de coordenadas polares:
- Em coordenadas polares centradas na origem, um ponto do plano é dado por
com e ângulo. A transformação para coordenadas cartesianas é
- Se o disco estiver centrado em
, a fórmula vira
Aqui queremos
e
.
Passo 3
Como transformar o quadrado em um par
? Use-se as coordenadas do quadrado
assim:
- interprete
como raio: ; - interprete
como ângulo normalizado: .
Essa escolha é natural porque varrendo
de
a
percorre-se os raios do centro ao contorno, e varrendo
de
a
percorre-se um giro completo em
.
Passo 4
Escrevendo a transformação explicitamente, centrou-se o disco em
. Assim defino
por
com
e
.
Passo 5
Verificação de que
(prova rápida):
- Para qualquer
, tem-se e . Então
logo
. Assim
.
- Reciprocamente, dado qualquer
defina e escolha ajustado para . Então e existe tal que . Como isso corresponde a um . Logo . Assim .
Passo 6
Inverso explícito (útil para entender a transformação): se
então a pré-imagem
pode ser obtida por
com o ajuste de
para que
.
Passo 7
Comentário sobre a área e o jacobiano (opcional, mas importante se for usar
em integrais): o determinante da matriz jacobiana de
é
Explicação curta: isso vem do fato de que a transformação corresponde a
com
, e o jacobiano de
é
; multiplicando por
obtém-se
. Isso mostra que pequenas áreas em
são multiplicadas por
ao irem para
.