Defina uma transformação T tal que T\left(D^{\prime}\right)=D, onde D^{\prime}=[0,1] \times[0,1] \subset plano u v e D \subset plano x y é o círculo unitário com centro em (5,3).

Passo 1

O enunciado pede que seja definida uma transformação T que leva o quadrado D'=[0,1]\times[0,1] no plano uv sobre o disco unitário D no plano xy cujo centro é (5,3).
Informações dadas:
  • Domínio: D'=\{(u,v)\mid 0\le u\le1,\;0\le v\le1\}.
  • Imagem alvo: D=\{(x,y)\mid (x-5)^2+(y-3)^2\le 1\} (disco de raio 1 centrado em (5,3)).
    O objetivo: apresentar uma função T:D'\to\mathbb{R}^2 tal que T(D')=D.

Passo 2

Ideia principal (intuição): pontos do disco são naturalmente descritos em coordenadas polares pela combinação de um raio r\in[0,1] e um ângulo \theta\in[0,2\pi). Então basta transformar o quadrado [0,1]\times[0,1] em pares (r,\theta) apropriados e usar a fórmula polar centrada em (5,3). Vou explicar o conceito de coordenadas polares de forma rápida e prática.
Conceito de coordenadas polares:
  • Em coordenadas polares centradas na origem, um ponto do plano é dado por (r,\theta) com r\ge0 e \theta ângulo. A transformação para coordenadas cartesianas é
(x,y)=(r\cos\theta,r\sin\theta).
  • Se o disco estiver centrado em (x_0,y_0), a fórmula vira
(x,y)=(x_0+r\cos\theta,\;y_0+r\sin\theta).
Aqui queremos r\in[0,1] e \theta\in[0,2\pi).

Passo 3

Como transformar o quadrado em um par (r,\theta)? Use-se as coordenadas do quadrado (u,v)\in[0,1]\times[0,1] assim:
  • interprete u como raio: r=u\in[0,1];
  • interprete v como ângulo normalizado: \theta = 2\pi v\in[0,2\pi].
Essa escolha é natural porque varrendo u de 0 a 1 percorre-se os raios do centro ao contorno, e varrendo v de 0 a 1 percorre-se um giro completo em \theta.

Passo 4

Escrevendo a transformação explicitamente, centrou-se o disco em (5,3). Assim defino T por
T(u,v)=\bigl(5+u\cos(2\pi v),\;3+u\sin(2\pi v)\bigr),
com 0\le u\le1 e 0\le v\le1.

Passo 5

Verificação de que T(D')=D (prova rápida):
  • Para qualquer (u,v)\in D', tem-se r=u\in[0,1] e \theta=2\pi v. Então
(x-5)^2+(y-3)^2 = \bigl(u\cos(2\pi v)\bigr)^2+\bigl(u\sin(2\pi v)\bigr)^2 = u^2\le 1,
logo T(u,v)\in D. Assim T(D')\subseteq D.
  • Reciprocamente, dado qualquer (x,y)\in D defina r=\sqrt{(x-5)^2+(y-3)^2} e escolha \theta=\operatorname{atan2}(y-3,x-5) ajustado para [0,2\pi). Então r\in[0,1] e existe v=\theta/(2\pi)\in[0,1] tal que (x,y)=T(r,v). Como r\in[0,1] isso corresponde a um u\in[0,1]. Logo D\subseteq T(D'). Assim T(D')=D.

Passo 6

Inverso explícito (útil para entender a transformação): se (x,y)\in D então a pré-imagem (u,v) pode ser obtida por
u=\sqrt{(x-5)^2+(y-3)^2},\qquad v=\frac{1}{2\pi}\operatorname{atan2}(y-3,x-5),
com o ajuste de \operatorname{atan2} para que v\in[0,1].

Passo 7

Comentário sobre a área e o jacobiano (opcional, mas importante se for usar T em integrais): o determinante da matriz jacobiana de T é
\det D T(u,v)=2\pi u.
Explicação curta: isso vem do fato de que a transformação corresponde a (u,v)\mapsto(r,\theta) com \theta=2\pi v, e o jacobiano de (r,\theta)\mapsto(x,y) é r; multiplicando por d\theta/dv=2\pi obtém-se 2\pi r=2\pi u. Isso mostra que pequenas áreas em uv são multiplicadas por 2\pi u ao irem para xy.

Resposta

T(u,v)=\bigl(5+u\cos(2\pi v),\;3+u\sin(2\pi v)\bigr),\qquad 0\le u\le1,\\\ 0\le v\le1.

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