Considere a transformação T(u, v)=\left(e^{u} \cos v, e^{u} \operatorname{sen} v\right) e seja o conjunto D^{\prime}= \{(u, v) / 0 \leq u \leq 1,0 \leq v \leq \pi / 2\}
a. Calcule a área da imagem D=T\left(D^{\prime}\right)
b. Calcule \iint_{D} \sqrt{x^{2}+y^{2}} d A

Passo 1

O enunciado dá a transformação
T(u,v)=\bigl(e^{u}\cos v,\;e^{u}\sin v\bigr)
e o conjunto
D'=\{(u,v)\mid 0\le u\le 1,\;0\le v\le \tfrac{\pi}{2}\}.
Pede-se:
a. Calcular a área da imagem D=T(D').
b. Calcular \iint_{D}\sqrt{x^{2}+y^{2}}\,dA.
Informações relevantes fornecidas:
  • As coordenadas cartesianas (x,y) são expressas em função de (u,v) por x=e^{u}\cos v e y=e^{u}\sin v.
  • O domínio em (u,v) é retangular com u\in[0,1] e v\in[0,\tfrac{\pi}{2}].

Passo 2

Plano de ataque (explicação didática do método que será usado).
Quando se transforma uma região D' no plano (u,v) pela aplicação T para obter uma região D no plano (x,y), a área de D e integrais sobre D podem ser calculadas integrando sobre D' multiplicando pelo valor absoluto do jacobiano de T.
O jacobiano é a determinante da matriz das derivadas parciais:
J(u,v)=\det\begin{pmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v}\\[4pt] \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix}.
Intuitivamente, para um par de incrementos pequenos (du,dv) no domínio (u,v), a transformação aproxima um paralelogramo em (x,y) cuja área é aproximadamente |J(u,v)|\,du\,dv. Assim:
  • A área de D é \displaystyle\iint_{D'} |J(u,v)|\,du\,dv.
  • Para uma função f(x,y), tem-se \displaystyle\iint_{D} f(x,y)\,dA=\iint_{D'} f\bigl(T(u,v)\bigr)\,|J(u,v)|\,du\,dv.
Vamos aplicar isso passo a passo.]

Passo 3

Calcular as derivadas parciais necessárias para o jacobiano.
As coordenadas são
x(u,v)=e^{u}\cos v,\qquad y(u,v)=e^{u}\sin v.
Calculam-se as derivadas:
\frac{\partial x}{\partial u}=e^{u}\cos v,\qquad \frac{\partial x}{\partial v}=-e^{u}\sin v,
\frac{\partial y}{\partial u}=e^{u}\sin v,\qquad \frac{\partial y}{\partial v}=e^{u}\cos v.

Passo 4

Calcular o jacobiano (determinante).
J(u,v)=\det\begin{pmatrix} e^{u}\cos v & -e^{u}\sin v\\[4pt] e^{u}\sin v & \;\;e^{u}\cos v \end{pmatrix}.
Avalia-se a determinante:
J(u,v)=\bigl(e^{u}\cos v\bigr)\bigl(e^{u}\cos v\bigr)-\bigl(-e^{u}\sin v\bigr)\bigl(e^{u}\sin v\bigr).
Factorizando e^{2u}:
J(u,v)=e^{2u}\bigl(\cos^{2}v+\sin^{2}v\bigr)=e^{2u}\cdot 1=e^{2u}.
Portanto |J(u,v)|=e^{2u} (positivo para todo u).]

Passo 5

Parte (a): calcular a área de D.
Pelo raciocínio do Passo 2,
\text{Área}(D)=\iint_{D'} e^{2u}\,du\,dv.Á
Como D' é o retângulo u\in[0,1],\;v\in[0,\tfrac{\pi}{2}], podemos separar as integrais:
\text{Área}(D)=\int_{u=0}^{1}\int_{v=0}^{\pi/2} e^{2u}\,dv\,du =\int_{0}^{1} \biggl(\int_{0}^{\pi/2} dv\biggr) e^{2u}\,du.Á
A integral interna em v é simplesmente \tfrac{\pi}{2}. Assim
\text{Área}(D)=\frac{\pi}{2}\int_{0}^{1} e^{2u}\,du.Á
Calcule a integral em u:
\int_{0}^{1} e^{2u}\,du=\left[\frac{1}{2}e^{2u}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{2}\bigl(e^{2}-1\bigr).
Logo
\text{Área}(D)=\frac{\pi}{2}\cdot\frac{1}{2}\bigl(e^{2}-1\bigr)=\frac{\pi}{4}\bigl(e^{2}-1\bigr).Á

Passo 6

Parte (b): calcular \iint_{D}\sqrt{x^{2}+y^{2}}\,dA.
Primeiro observe que, usando a transformação dada,
\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{\bigl(e^{u}\cos v\bigr)^{2}+\bigl(e^{u}\sin v\bigr)^{2}} =\sqrt{e^{2u}\bigl(\cos^{2}v+\sin^{2}v\bigr)}=e^{u}.
Usando a fórmula de mudança de variáveis:
\iint_{D}\sqrt{x^{2}+y^{2}}\,dA=\iint_{D'} \bigl(e^{u}\bigr)\,|J(u,v)|\,du\,dv =\iint_{D'} e^{u}\cdot e^{2u}\,du\,dv=\iint_{D'} e^{3u}\,du\,dv.
Como antes, integra-se sobre o retângulo:
\iint_{D'} e^{3u}\,du\,dv=\int_{0}^{1}\int_{0}^{\pi/2} e^{3u}\,dv\,du =\frac{\pi}{2}\int_{0}^{1} e^{3u}\,du.
Calcule a integral em u:
\int_{0}^{1} e^{3u}\,du=\left[\frac{1}{3}e^{3u}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{3}\bigl(e^{3}-1\bigr).
Portanto
\iint_{D}\sqrt{x^{2}+y^{2}}\,dA=\frac{\pi}{2}\cdot\frac{1}{3}\bigl(e^{3}-1\bigr)=\frac{\pi}{6}\bigl(e^{3}-1\bigr).

Resposta

\displaystyle \text{(a) }\frac{\pi}{4}\bigl(e^{2}-1\bigr)
\displaystyle \text{(b) }\frac{\pi}{6}\bigl(e^{3}-1\bigr)

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