Considere a transformação
e seja o conjunto
a. Calcule a área da imagem
b. Calcule
a. Calcule a área da imagem
b. Calcule
Passo 1
O enunciado dá a transformação
e o conjunto
Pede-se:
a. Calcular a área da imagem .
b. Calcular .
a. Calcular a área da imagem
b. Calcular
Informações relevantes fornecidas:
- As coordenadas cartesianas
são expressas em função de por e . - O domínio em
é retangular com e .
Passo 2
Plano de ataque (explicação didática do método que será usado).
Quando se transforma uma região no plano
pela aplicação
para obter uma região
no plano
, a área de
e integrais sobre
podem ser calculadas integrando sobre
multiplicando pelo valor absoluto do jacobiano de
.
Quando se transforma uma região
O jacobiano é a determinante da matriz das derivadas parciais:
Intuitivamente, para um par de incrementos pequenos
no domínio
, a transformação aproxima um paralelogramo em
cuja área é aproximadamente
. Assim:
- A área de
é . - Para uma função
, tem-se .
Vamos aplicar isso passo a passo.]
Passo 3
Calcular as derivadas parciais necessárias para o jacobiano.
As coordenadas são
As coordenadas são
Calculam-se as derivadas:
Passo 4
Calcular o jacobiano (determinante).
Avalia-se a determinante:
Factorizando
:
Portanto
(positivo para todo
).]
Passo 5
Parte (a): calcular a área de
.
Pelo raciocínio do Passo 2,
Pelo raciocínio do Passo 2,
Como
é o retângulo
, podemos separar as integrais:
A integral interna em
é simplesmente
. Assim
Calcule a integral em
:
Logo
Passo 6
Parte (b): calcular
.
Primeiro observe que, usando a transformação dada,
Primeiro observe que, usando a transformação dada,
Usando a fórmula de mudança de variáveis:
Como antes, integra-se sobre o retângulo:
Calcule a integral em
:
Portanto