Seja D o paralelogramo limitado pelas retas y=3 x-4, y=3 x, y=\frac{1}{2} x e y= \frac{1}{2}(x+4). Seja A=[0,1] \times[0,1], defina uma transformação T tal que T(A)=D.

Passo 1

O enunciado dá quatro retas e define D como o paralelogramo limitado por essas retas. Também dá o quadrado A. Objetivo: definir uma transformação T tal que T(A)=D.
Informações fornecidas:
  • As retas são \;y=3x-4,\; y=3x,\; y=\tfrac{1}{2}x,\; y=\tfrac{1}{2}(x+4).
  • O conjunto A é \;A=[0,1]\times[0,1].
  • Deve-se encontrar uma transformação T (uma aplicação afim/linear adequada) que leva o quadrado A exatamente no paralelogramo D.

Passo 2

Primeiro vamos encontrar os vértices de D resolvendo as interseções das retas. Cada vértice é a intersecção de uma reta do grupo y=3x-4 ou y=3x com uma reta do grupo y=\tfrac{1}{2}x ou y=\tfrac{1}{2}(x+4).
Interseção de y=3x com y=\tfrac{1}{2}x:
3x=\tfrac{1}{2}x \quad\Rightarrow\quad \left(3-\tfrac{1}{2}\right)x=0 \quad\Rightarrow\quad x=0.
Logo y=0. Vértice: \left(0,0\right).

Passo 3

Interseção de y=3x com y=\tfrac{1}{2}(x+4):
3x=\tfrac{1}{2}x+2 \quad\Rightarrow\quad \left(3-\tfrac{1}{2}\right)x=2 \quad\Rightarrow\quad \tfrac{5}{2}x=2 \quad\Rightarrow\quad x=\tfrac{4}{5}.
Então y=3x=3\cdot\tfrac{4}{5}=\tfrac{12}{5}. Vértice: \left(\tfrac{4}{5},\tfrac{12}{5}\right).

Passo 4

Interseção de y=3x-4 com y=\tfrac{1}{2}x:
3x-4=\tfrac{1}{2}x \quad\Rightarrow\quad \left(3-\tfrac{1}{2}\right)x=4 \quad\Rightarrow\quad \tfrac{5}{2}x=4 \quad\Rightarrow\quad x=\tfrac{8}{5}.
Então y=\tfrac{1}{2}x=\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{8}{5}=\tfrac{4}{5}. Vértice: \left(\tfrac{8}{5},\tfrac{4}{5}\right).

Passo 5

Interseção de y=3x-4 com y=\tfrac{1}{2}(x+4):
3x-4=\tfrac{1}{2}x+2 \quad\Rightarrow\quad \left(3-\tfrac{1}{2}\right)x=6 \quad\Rightarrow\quad \tfrac{5}{2}x=6 \quad\Rightarrow\quad x=\tfrac{12}{5}.
Então y=3x-4=3\cdot\tfrac{12}{5}-4=\tfrac{36}{5}-\tfrac{20}{5}=\tfrac{16}{5}. Vértice: \left(\tfrac{12}{5},\tfrac{16}{5}\right).

Passo 6

Resumindo, os quatro vértices de D (em ordem conveniente) são:
V_0=\left(0,0\right),\quad V_1=\left(\tfrac{8}{5},\tfrac{4}{5}\right),\quad V_2=\left(\tfrac{12}{5},\tfrac{16}{5}\right),\quad V_3=\left(\tfrac{4}{5},\tfrac{12}{5}\right).
Observação útil: V_2=V_1+V_3 e V_0=(0,0), o que mostra que D é o paralelogramo gerado pelos vetores V_1 e V_3 a partir da origem.

Passo 7

Escolha natural de T: usar uma transformação linear (sem translação) que manda o quadrado A no paralelogramo D. Se escrevermos um ponto do quadrado como (u,v) com u,v\in[0,1], a imagem afim linear que manda
(0,0)\mapsto V_0,\quad (1,0)\mapsto V_1,\quad (0,1)\mapsto V_3
é dada pela matriz cujas colunas são V_1 e V_3. Isto porque a imagem de (u,v) será u\cdot V_1+v\cdot V_3.

Passo 8

Montando a matriz e escrevendo T. As colunas são
V_1=\begin{pmatrix}\tfrac{8}{5}\\[4pt]\tfrac{4}{5}\end{pmatrix},\qquad V_3=\begin{pmatrix}\tfrac{4}{5}\\[4pt]\tfrac{12}{5}\end{pmatrix}.
Logo, para (u,v)\in A,
T(u,v)=\begin{pmatrix}\tfrac{8}{5} & \tfrac{4}{5}\\[4pt]\tfrac{4}{5} & \tfrac{12}{5}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u\\[4pt]v\end{pmatrix}.]

Passo 9

Escrevendo componente a componente e simplificando um fator comum \tfrac{1}{5}:
T(u,v)=\left(\tfrac{1}{5}\bigl(8u+4v\bigr),\;\tfrac{1}{5}\bigl(4u+12v\bigr)\right).
Verificação rápida: para (u,v)=(1,1) obtém-se \left(\tfrac{12}{5},\tfrac{16}{5}\right) que é V_2, como esperado.

Resposta

T(x,y)=\left(\tfrac{1}{5}\bigl(8x+4y\bigr),\;\tfrac{1}{5}\bigl(4x+12y\bigr)\right)

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