Seja
o paralelogramo limitado pelas retas
e
. Seja
, defina uma transformação
tal que
.
Passo 1
O enunciado dá quatro retas e define
como o paralelogramo limitado por essas retas. Também dá o quadrado
. Objetivo: definir uma transformação
tal que
.
Informações fornecidas:
- As retas são
- O conjunto
é - Deve-se encontrar uma transformação
(uma aplicação afim/linear adequada) que leva o quadrado exatamente no paralelogramo .
Passo 2
Primeiro vamos encontrar os vértices de
resolvendo as interseções das retas. Cada vértice é a intersecção de uma reta do grupo
ou
com uma reta do grupo
ou
.
Interseção de
com
:
Logo
. Vértice:
.
Passo 3
Interseção de
com
:
Então
. Vértice:
.
Passo 4
Interseção de
com
:
Então
. Vértice:
.
Passo 5
Interseção de
com
:
Então
. Vértice:
.
Passo 6
Resumindo, os quatro vértices de
(em ordem conveniente) são:
Observação útil:
e
, o que mostra que
é o paralelogramo gerado pelos vetores
e
a partir da origem.
Passo 7
Escolha natural de
: usar uma transformação linear (sem translação) que manda o quadrado
no paralelogramo
. Se escrevermos um ponto do quadrado como
com
, a imagem afim linear que manda
é dada pela matriz cujas colunas são
e
. Isto porque a imagem de
será
.
Passo 8
Montando a matriz e escrevendo
. As colunas são
Logo, para
,
Passo 9
Escrevendo componente a componente e simplificando um fator comum
:
Verificação rápida: para
obtém-se
que é
, como esperado.