Calcule:
\int_{0}^{1} \int_{0}^{2}(x+y) d y d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
\int_{0}^{1}\int_{0}^{2}(x+y)\,dy\,dx.
O conteúdo envolvido é a integração iterada num domínio retangular. Vamos usar o Teorema de Fubini para integrar primeiro em y e depois em x.

Passo 2

Por linearidade da integral, para cada x fixo temos
\int_{0}^{2}(x+y)\,dy = \int_{0}^{2}x\,dy + \int_{0}^{2}y\,dy.

Passo 3

Calculemos cada termo separadamente:
\int_{0}^{2}x\,dy = x\bigl[y\bigr]_{0}^{2} = 2x,
\int_{0}^{2}y\,dy = \bigl[\tfrac{y^{2}}{2}\bigr]_{0}^{2} = 2.
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\int_{0}^{2}(x+y)\,dy = 2x + 2.

Passo 4

Agora integramos em x:
\int_{0}^{1}(2x+2)\,dx = 2\int_{0}^{1}x\,dx + 2\int_{0}^{1}1\,dx = 2\bigl[\tfrac{x^{2}}{2}\bigr]_{0}^{1} + 2\bigl[x\bigr]_{0}^{1} = 1 + 2 = 3.

Resposta

3

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