Referente a um espaço vetorial V, assinale a(s) alternativa(s) que expressa(m) afirmação(ões) verdadeira(s).
Escolha uma ou mais:
a. Se u=v, então u-\alpha v=0 para qualquer escalar \alpha \in \mathbb{R}.
b. Se O_{V} é o vetor nulo de V, então \alpha O_{V}=O_{V} para qualquer escalar \alpha \in \mathbb{R}.
c. Se u+v=0, então u=-v.
d. Se O_{V} é o vetor nulo de V , pode existir em W , subespaço de V , um vetor nulo diferente de O_{V}.

Passo 1

O enunciado trabalha com axiomas de espaço vetorial em V: existência e unicidade do vetor nulo, propriedades de multiplicação por escalar e inverso aditivo. Vamos verificar cada afirmação usando essas propriedades.

Passo 2

Analisando a alternativa (a): “Se u=v, então u-\alpha v=0 para qualquer escalar \alpha\in\mathbb{R}.”
Como u=v, temos
u-\alpha v = v - \alpha v = (1-\alpha)\,v.
Isso só é 0 para todo \alpha se v=0 (caso trivial) ou \alpha=1. Logo não vale para “qualquer” \alpha. Portanto (a) é falsa.

Passo 3

Analisando a alternativa (b): “Se O_{V} é o vetor nulo de V, então \alpha\,O_{V}=O_{V} para qualquer escalar \alpha\in\mathbb{R}.”
Esse é exatamente um dos axiomas de espaço vetorial: o escalar vezes o vetor nulo é o vetor nulo. Logo (b) é verdadeira.

Passo 4

Analisando a alternativa (c): “Se u+v=0, então u=-v.”
Em qualquer grupo abeliano (e, portanto, em um espaço vetorial), o inverso aditivo é único e satisfaz u+v=0\iff u=-v. Logo (c) é verdadeira.

Passo 5

Analisando a alternativa (d): “Se O_{V} é o vetor nulo de V, pode existir em W, subespaço de V, um vetor nulo diferente de O_{V}.”
Um subespaço herda o mesmo vetor nulo do espaço maior e não pode ter outro distinto. Logo (d) é falsa.

Resposta

(b) e (c)

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