Referente a um espaço vetorial V, assinale a(s) alternativa(s) que expressa(m) afirmação(ões) verdadeira(s).
Escolha uma ou mais:
a. Se
, então
para qualquer escalar
.
b. Se
é o vetor nulo de V, então
para qualquer escalar
.
c. Se
, então
.
d. Se
é o vetor nulo de V , pode existir em W , subespaço de V , um vetor nulo diferente de
.
Escolha uma ou mais:
a. Se
b. Se
c. Se
d. Se
Passo 1
O enunciado trabalha com axiomas de espaço vetorial em
: existência e unicidade do vetor nulo, propriedades de multiplicação por escalar e inverso aditivo. Vamos verificar cada afirmação usando essas propriedades.
Passo 2
Analisando a alternativa (a): “Se
, então
para qualquer escalar
.”
Como , temos
Como
Isso só é
para todo
se
(caso trivial) ou
. Logo não vale para “qualquer”
. Portanto (a) é falsa.
Passo 3
Analisando a alternativa (b): “Se
é o vetor nulo de
, então
para qualquer escalar
.”
Esse é exatamente um dos axiomas de espaço vetorial: o escalar vezes o vetor nulo é o vetor nulo. Logo (b) é verdadeira.
Esse é exatamente um dos axiomas de espaço vetorial: o escalar vezes o vetor nulo é o vetor nulo. Logo (b) é verdadeira.
Passo 4
Analisando a alternativa (c): “Se
, então
.”
Em qualquer grupo abeliano (e, portanto, em um espaço vetorial), o inverso aditivo é único e satisfaz . Logo (c) é verdadeira.
Em qualquer grupo abeliano (e, portanto, em um espaço vetorial), o inverso aditivo é único e satisfaz
Passo 5
Analisando a alternativa (d): “Se
é o vetor nulo de
, pode existir em
, subespaço de
, um vetor nulo diferente de
.”
Um subespaço herda o mesmo vetor nulo do espaço maior e não pode ter outro distinto. Logo (d) é falsa.
Um subespaço herda o mesmo vetor nulo do espaço maior e não pode ter outro distinto. Logo (d) é falsa.
Resposta
(b) e (c)