Ao decompor o quociente
\frac{x^{4}+3 x^{2}-x-8}{x^{3}+4 x}
encontraremos
x+\frac{2}{x}+\frac{x-1}{x^{2}+4}

Passo 1

O problema pede para decompor em frações parciais o quociente
\frac{x^{4}+3x^{2}-x-8}{x^{3}+4x}.
Para isso, vamos usar divisão de polinômios para obter um polinômio mais uma fração própria, e depois aplicar frações parciais.

Passo 2

Fazendo a divisão de
x^{4}+3x^{2}-x-8
por
x^{3}+4x = x(x^{2}+4),
temos quociente x e resto
R(x) = (x^{4}+3x^{2}-x-8) - x\cdot(x^{3}+4x) = x^{4}+3x^{2}-x-8 - (x^{4}+4x^{2}) = -x^{2}-x-8.
Logo,
\frac{x^{4}+3x^{2}-x-8}{x^{3}+4x} = x + \frac{-x^{2}-x-8}{x(x^{2}+4)}.

Passo 3

Agora decompomos a parte própria
\frac{-x^{2}-x-8}{x(x^{2}+4)}
na forma
\frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{x^{2}+4}.
Multiplicando ambos os lados por x(x^{2}+4), obtemos a identidade
-x^{2}-x-8 = A(x^{2}+4) + (Bx+C)x.

Passo 4

Expandindo e agrupando termos em potências de x\): \[-x^{2}-x-8 = (A+B)x^{2} + Cx + 4A.
Igualando coeficientes:
\begin{cases} A + B = -1,\\\ C = -1,\\\\ 4A = -8, \end{cases}
de onde A=-2\], \(B=1 e C=-1.

Passo 5

Substituindo A, B e C na decomposição temos
\frac{-x^{2}-x-8}{x(x^{2}+4)} = \frac{-2}{x} + \frac{x-1}{x^{2}+4}.
Portanto a decomposição completa é
\frac{x^{4}+3x^{2}-x-8}{x^{3}+4x} = x - \frac{2}{x} + \frac{x-1}{x^{2}+4}.

Resposta

x - \frac{2}{x} + \frac{x-1}{x^{2}+4}.

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