Sobre a teoria dos espaços e subespaços vetoriais, assinale a alternativa que contém uma afirmação FALSA.

Escolha uma opção:

a. Para que um subconjunto W de um espaço vetorial V seja um subespaço vetorial é necessário e suficiente que 0 \in W e que u+\alpha v \in W, sempre que u, v \in V e \alpha \in \mathbb{R}.
b. Se V é um espaço vetorial, então todo subconjunto não vazio de V é um subespaço vetorial de V.
c. Se V é um espaço vetorial e v \in V é um vetor não nulo, então o subconjunto \{\alpha v \in V ; \alpha \in \mathbb{R}\} é um subespaço vetorial de V.
d. Se V é um espaço vetorial com O_{V} \in V o seu vetor nulo, então O_{V} \in W para qualquer subespaço vetorial W de V.

Passo 1

O enunciado pergunta qual das afirmativas sobre subespaços vetoriais é FALSA. O conteúdo é definição de subespaço: um subconjunto W de um espaço vetorial V deve conter o vetor nulo e ser fechado sob soma e multiplicação por escalar. Vamos verificar cada alternativa à luz dessa definição.

Passo 2

Alternativa (a): diz que basta ter 0\in W e que u+\alpha v\in W sempre que u,v\in W e \alpha\in\mathbb{R}.
Isso coincide exatamente com o teste de subespaço (não preciso checar separadamente adição e multiplicação por escalar).
Portanto, (a) está CORRETA.

Passo 3

Alternativa (b): afirma que “todo subconjunto não vazio de V é um subespaço”.
Isso é claramente falso: por exemplo, em \mathbb{R}^2 o subconjunto \{(1,0)\} não é fechado sob soma nem contém múltiplos arbitrários.
Logo, (b) é FALSA.

Passo 4

Alternativa (c): para um vetor não nulo v\in V, o conjunto \{\alpha v:\alpha\in\mathbb{R}\} é justamente a reta (1-dimensional) gerada por v, que contém 0 e é fechado sob soma e multiplicação por escalar.
Logo, (c) está CORRETA.

Passo 5

Alternativa (d): qualquer subespaço W de V deve conter o vetor nulo O_{V}. Isso decorre diretamente da definição de subespaço (fechamento com escalar zero).
Portanto, (d) está CORRETA.

Resposta

b. Se V é um espaço vetorial, então nem todo subconjunto não vazio de V é um subespaço vetorial de V.

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