Sobre a teoria dos espaços e subespaços vetoriais, assinale a alternativa que contém uma afirmação FALSA.
Escolha uma opção:
a. Para que um subconjunto
de um espaço vetorial
seja um subespaço vetorial é necessário e suficiente que
e que
, sempre que
e
.
b. Se
é um espaço vetorial, então todo subconjunto não vazio de
é um subespaço vetorial de
.
c. Se
é um espaço vetorial e
é um vetor não nulo, então o subconjunto
é um subespaço vetorial de V.
d. Se
é um espaço vetorial com
o seu vetor nulo, então
para qualquer subespaço vetorial
de
.
b. Se
c. Se
d. Se
Passo 1
O enunciado pergunta qual das afirmativas sobre subespaços vetoriais é FALSA. O conteúdo é definição de subespaço: um subconjunto
de um espaço vetorial
deve conter o vetor nulo e ser fechado sob soma e multiplicação por escalar. Vamos verificar cada alternativa à luz dessa definição.
Passo 2
Alternativa (a): diz que basta ter
e que
sempre que
e
.
Isso coincide exatamente com o teste de subespaço (não preciso checar separadamente adição e multiplicação por escalar).
Portanto, (a) está CORRETA.
Isso coincide exatamente com o teste de subespaço (não preciso checar separadamente adição e multiplicação por escalar).
Portanto, (a) está CORRETA.
Passo 3
Alternativa (b): afirma que “todo subconjunto não vazio de
é um subespaço”.
Isso é claramente falso: por exemplo, em o subconjunto
não é fechado sob soma nem contém múltiplos arbitrários.
Logo, (b) é FALSA.
Isso é claramente falso: por exemplo, em
Logo, (b) é FALSA.
Passo 4
Alternativa (c): para um vetor não nulo
, o conjunto
é justamente a reta (1-dimensional) gerada por
, que contém
e é fechado sob soma e multiplicação por escalar.
Logo, (c) está CORRETA.
Logo, (c) está CORRETA.
Passo 5
Alternativa (d): qualquer subespaço
de
deve conter o vetor nulo
. Isso decorre diretamente da definição de subespaço (fechamento com escalar zero).
Portanto, (d) está CORRETA.
Portanto, (d) está CORRETA.
Resposta
b. Se
é um espaço vetorial, então nem todo subconjunto não vazio de
é um subespaço vetorial de
.