Calcule:
\int_{0}^{1} \int_{y}^{y^{2}} \frac{x}{x^{2}+y} d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{1}\int_{y}^{y^{2}}\frac{x}{x^{2}+y}\,dx\,dy.
Informações e dados do enunciado:
  • A variável externa y varia em [0,1].
  • Para cada y dado, a variável interna x varia de x=y até x=y^{2}.
  • A função a integrar é \dfrac{x}{x^{2}+y}.
(Repare que, para y\in(0,1), tem-se y^{2}<y, isto é, o limite inferior y é maior que o superior y^{2}. Isso é válido — a integral com limites invertidos resulta em sinal negativo — mas essa observação não muda a forma de calcular: podemos proceder diretamente ao cálculo da integral interna.)

Passo 2

Calcular a integral interna em x, para y fixo:
\int_{y}^{y^{2}}\frac{x}{x^{2}+y}\,dx.
Método: substituição simples. Tome \,t=x^{2}+y. Então dt=2x\,dx, logo x\,dx=\dfrac{dt}{2}.
Agora calcule os limites em termos de t:
  • quando x=y, t=y^{2}+y;
  • quando x=y^{2}, t=y^{4}+y.
Portanto
\int_{y}^{y^{2}}\frac{x}{x^{2}+y}\,dx = \frac{1}{2}\int_{t=y^{2}+y}^{t=y^{4}+y}\frac{1}{t}\,dt = \frac{1}{2}\left[\ln(t)\right]_{t=y^{2}+y}^{t=y^{4}+y}.
Assim obtemos
\int_{y}^{y^{2}}\frac{x}{x^{2}+y}\,dx = \frac{1}{2}\ln\!\left(\frac{y^{4}+y}{\,y^{2}+y\,}\right).

Passo 3

Substituindo o resultado da integral interna na integral externa, obtemos
\int_{0}^{1}\int_{y}^{y^{2}}\frac{x}{x^{2}+y}\,dx\,dy = \frac{1}{2}\int_{0}^{1}\ln\!\left(\frac{y^{4}+y}{y^{2}+y}\right)\,dy.
Simplifique a fração dentro do logaritmo fatorando y (para y\neq 0; em y=0 a expressão é contínua e a fatoração vale como identidade de polinômios):
\frac{y^{4}+y}{y^{2}+y} = \frac{y(y^{3}+1)}{y(y+1)} = \frac{y^{3}+1}{y+1}.
Usando a fatoração conhecida y^{3}+1=(y+1)(y^{2}-y+1), obtemos
\frac{y^{3}+1}{y+1}=y^{2}-y+1.
Logo a integral simplifica para
\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\ln\!\bigl(y^{2}-y+1\bigr)\,dy.

Passo 4

Para avaliar \displaystyle\int_{0}^{1}\ln\!\bigl(y^{2}-y+1\bigr)\,dy, complete o quadrado no polinômio:
y^{2}-y+1=\left(y-\tfrac{1}{2}\right)^{2}+\tfrac{3}{4}.
Faça a mudança de variável t=y-\tfrac{1}{2}. Quando y percorre [0,1], t percorre [-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}]. Assim
\int_{0}^{1}\ln\!\bigl(y^{2}-y+1\bigr)\,dy = \int_{-1/2}^{1/2}\ln\!\left(t^{2}+\tfrac{3}{4}\right)\,dt.
A função t\mapsto\ln(t^{2}+a^{2}) é par, então a integral sobre [-1/2,1/2] é o dobro da integral sobre [0,1/2]:
\int_{-1/2}^{1/2}\ln\!\left(t^{2}+\tfrac{3}{4}\right)\,dt = 2\int_{0}^{1/2}\ln\!\left(t^{2}+\tfrac{3}{4}\right)\,dt.

Passo 5

Avaliar \displaystyle\int \ln\!\left(t^{2}+a^{2}\right)\,dt. Vamos obter uma primitiva por partes ou lembrando uma primitiva conhecida. Uma primitiva é
F(t)=t\ln\!\left(t^{2}+a^{2}\right)-2t+2a\arctan\!\left(\frac{t}{a}\right),
pois derivando F obtém-se
F'(t)=\ln\!\left(t^{2}+a^{2}\right).
(Verificação rápida: derivando t\ln(t^{2}+a^{2}) \ln(t^{2}+a^{2})+\dfrac{2t^{2}}{t^{2}+a^{2}}; derivando -2t -2; derivando 2a\arctan(t/a) \dfrac{2a}{1+(t/a)^{2}}\cdot\frac{1}{a}=\dfrac{2a^{2}}{t^{2}+a^{2}}. Somando os termos racionais resulta 2, que anula o -2, sobrando \ln(t^{2}+a^{2}).)
Aqui temos a^{2}=\tfrac{3}{4}, logo a=\tfrac{\sqrt{3}}{2}. Portanto, para o nosso caso
\int_{0}^{1/2}\ln\!\left(t^{2}+\tfrac{3}{4}\right)\,dt = \left[t\ln\!\left(t^{2}+\tfrac{3}{4}\right)-2t+2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\arctan\!\left(\frac{t}{\sqrt{3}/2}\right)\right]_{0}^{1/2}.

Passo 6

Avalie a expressão nas extremidades. Para t=\tfrac{1}{2} tem-se t^{2}+\tfrac{3}{4}=\tfrac{1}{4}+\tfrac{3}{4}=1, então \ln(1)=0. Assim o termo t\ln(\cdot) em t=\tfrac{1}{2} é zero. O restante em t=\tfrac{1}{2} é
-2\cdot\frac{1}{2} + \sqrt{3}\,\arctan\!\left(\frac{1/2}{\sqrt{3}/2}\right) = -1 + \sqrt{3}\,\arctan\!\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right).
Sabendo que \arctan\!\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)=\dfrac{\pi}{6}, isso dá
-1 + \sqrt{3}\cdot\frac{\pi}{6}= -1 + \frac{\pi\sqrt{3}}{6}.
No ponto t=0 todos os termos valem zero, logo
\int_{0}^{1/2}\ln\!\left(t^{2}+\tfrac{3}{4}\right)\,dt = -1 + \frac{\pi\sqrt{3}}{6}.
Voltando ao passo anterior, multiplicando por 2 (pois a integral em y era o dobro dessa),
\int_{0}^{1}\ln\!\bigl(y^{2}-y+1\bigr)\,dy = 2\left(-1 + \frac{\pi\sqrt{3}}{6}\right) = -2 + \frac{\pi\sqrt{3}}{3}.

Passo 7

Lembre-se que a integral original vale metade disso:
\int_{0}^{1}\int_{y}^{y^{2}}\frac{x}{x^{2}+y}\,dx\,dy = \frac{1}{2}\int_{0}^{1}\ln\!\bigl(y^{2}-y+1\bigr)\,dy = \frac{1}{2}\left(-2 + \frac{\pi\sqrt{3}}{3}\right).
Portanto
\int_{0}^{1}\int_{y}^{y^{2}}\frac{x}{x^{2}+y}\,dx\,dy = -1 + \frac{\pi\sqrt{3}}{6}.

Resposta

-1 + \dfrac{\pi\sqrt{3}}{6}

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