Calcule:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
Informações e dados do enunciado:
- A variável externa
varia em . - Para cada
dado, a variável interna varia de até . - A função a integrar é
.
(Repare que, para
, tem-se
, isto é, o limite inferior
é maior que o superior
. Isso é válido — a integral com limites invertidos resulta em sinal negativo — mas essa observação não muda a forma de calcular: podemos proceder diretamente ao cálculo da integral interna.)
Passo 2
Calcular a integral interna em
, para
fixo:
Método: substituição simples. Tome
. Então
, logo
.
Agora calcule os limites em termos de
:
- quando
, ; - quando
, .
Portanto
Assim obtemos
Passo 3
Substituindo o resultado da integral interna na integral externa, obtemos
Simplifique a fração dentro do logaritmo fatorando
(para
; em
a expressão é contínua e a fatoração vale como identidade de polinômios):
Usando a fatoração conhecida
, obtemos
Logo a integral simplifica para
Passo 4
Para avaliar
, complete o quadrado no polinômio:
Faça a mudança de variável
. Quando
percorre
,
percorre
. Assim
A função
é par, então a integral sobre
é o dobro da integral sobre
:
Passo 5
Avaliar
. Vamos obter uma primitiva por partes ou lembrando uma primitiva conhecida. Uma primitiva é
pois derivando
obtém-se
(Verificação rápida: derivando
dá
; derivando
dá
; derivando
dá
. Somando os termos racionais resulta
, que anula o
, sobrando
.)
Aqui temos
, logo
. Portanto, para o nosso caso
Passo 6
Avalie a expressão nas extremidades. Para
tem-se
, então
. Assim o termo
em
é zero. O restante em
é
Sabendo que
, isso dá
No ponto
todos os termos valem zero, logo
Voltando ao passo anterior, multiplicando por
(pois a integral em
era o dobro dessa),
Passo 7
Lembre-se que a integral original vale metade disso:
Portanto