Calcule:
\int_{0}^{2} \int_{x}^{2 x} x+x y^{2} d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{0}^{2}\int_{x}^{2x} x + x y^{2}\,dy\,dx.
Informações dadas:
  • A integração é feita primeiro em y com limite inferior y=x e superior y=2x.
  • Depois integra-se em x de x=0 até x=2.
  • O integrando é x + x y^{2}.
O que é pedido: o valor numérico da integral dupla (iterada) indicada.

Passo 2

Primeira observação prática: dentro da integral em y a variável x é tratada como constante. Então podemos fatorar x para simplificar o cálculo interno. Escrevendo isso:
x + x y^{2} = x(1 + y^{2}).
Regra usada: se a é constante em relação à variável de integração y, então \int a\cdot f(y)\,dy = a\int f(y)\,dy.

Passo 3

Agora calculamos a integral interna \displaystyle\int_{x}^{2x} x(1+y^{2})\,dy. Como x é constante em relação a y, sai da integral:
\int_{x}^{2x} x(1+y^{2})\,dy = x\int_{x}^{2x} (1+y^{2})\,dy.
Vamos achar a antiderivada de 1+y^{2} com respeito a y. Fórmula útil:
\int (1+y^{2})\,dy = \int 1\,dy + \int y^{2}\,dy = y + \frac{y^{3}}{3} + C,
onde usamos \displaystyle\int y^{n}\,dy = \frac{y^{n+1}}{n+1} para n\neq -1.

Passo 4

Aplicando o teorema fundamental do cálculo para avaliar no intervalo y\in[x,2x]:
\int_{x}^{2x} (1+y^{2})\,dy = \left[y+\frac{y^{3}}{3}\right]_{y=x}^{y=2x} = \left(2x + \frac{(2x)^{3}}{3}\right) - \left(x + \frac{x^{3}}{3}\right).
Calcule cada termo:
(2x)^{3} = 8x^{3}, \quad \frac{8x^{3}}{3} - \frac{x^{3}}{3} = \frac{7x^{3}}{3},
e 2x - x = x. Então
\int_{x}^{2x} (1+y^{2})\,dy = x + \frac{7x^{3}}{3}.

Passo 5

Voltando à integral interna com o fator x:
\int_{x}^{2x} x(1+y^{2})\,dy = x\left(x + \frac{7x^{3}}{3}\right) = x^{2} + \frac{7x^{4}}{3}.
Portanto a integral dupla original reduz-se à integral simples em x:
\int_{0}^{2}\left(x^{2} + \frac{7x^{4}}{3}\right)\,dx.

Passo 6

Agora calculamos a antiderivada em x. Usamos as mesmas regras de potências:
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3},\qquad \int x^{4}\,dx = \frac{x^{5}}{5}.
Assim
\int \left(x^{2} + \frac{7x^{4}}{3}\right)\,dx = \frac{x^{3}}{3} + \frac{7}{3}\cdot\frac{x^{5}}{5} = \frac{x^{3}}{3} + \frac{7x^{5}}{15}.

Passo 7

Avaliar a expressão de x=0 até x=2:
\left[\frac{x^{3}}{3} + \frac{7x^{5}}{15}\right]_{0}^{2} = \left(\frac{2^{3}}{3} + \frac{7\cdot 2^{5}}{15}\right) - 0.
Calcule os termos:
\frac{2^{3}}{3} = \frac{8}{3},\qquad 2^{5} = 32,\qquad \frac{7\cdot 32}{15} = \frac{224}{15}.

Passo 8

Somando os dois termos com denominador comum 15:
\frac{8}{3} + \frac{224}{15} = \frac{8\cdot 5}{15} + \frac{224}{15} = \frac{40+224}{15} = \frac{264}{15}.
Simplificando por 3:
\frac{264}{15} = \frac{88}{5}.

Resposta

\dfrac{88}{5}

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