Calcule:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral iterada
Informações dadas:
- A integração é feita primeiro em
com limite inferior e superior . - Depois integra-se em
de até . - O integrando é
.
O que é pedido: o valor numérico da integral dupla (iterada) indicada.
Passo 2
Primeira observação prática: dentro da integral em
a variável
é tratada como constante. Então podemos fatorar
para simplificar o cálculo interno. Escrevendo isso:
Regra usada: se
é constante em relação à variável de integração
, então
.
Passo 3
Agora calculamos a integral interna
. Como
é constante em relação a
, sai da integral:
Vamos achar a antiderivada de
com respeito a
. Fórmula útil:
onde usamos
para
.
Passo 4
Aplicando o teorema fundamental do cálculo para avaliar no intervalo
:
Calcule cada termo:
e
. Então
Passo 5
Voltando à integral interna com o fator
:
Portanto a integral dupla original reduz-se à integral simples em
:
Passo 6
Agora calculamos a antiderivada em
. Usamos as mesmas regras de potências:
Assim
Passo 7
Avaliar a expressão de
até
:
Calcule os termos:
Passo 8
Somando os dois termos com denominador comum
:
Simplificando por
: