Calcule: \int_{0}^{2} \int_{y}^{2 y} x+x y^{2} d x d y
Passo 1
O enunciado pede o cálculo da integral dupla
\int_{0}^{2}\int_{y}^{2y} x + x y^{2}\,dx\,dy.
Informações dadas:
O domínio de integração em y é 0\le y\le 2.
Para cada y, a integração em x vai de x=y até x=2y.
A função a integrar (o integrando) é x + x y^{2}.
Passo 2
Observação sobre a ordem das integrais e como proceder (explicação didática):
A integral interior é em relação a x. Isso significa que, ao integrar em x, devemos tratar y como uma constante (pois y não varia dentro dessa integral).
Sempre que uma expressão multiplicativa depende somente de y (ou seja, é constante em relação a x), podemos retirá-la para fora da integral em x. Formulando: se g(y) não depende de x, então