Calcule:
\int_{0}^{2} \int_{y}^{2 y} x+x y^{2} d x d y

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral dupla
\int_{0}^{2}\int_{y}^{2y} x + x y^{2}\,dx\,dy.
Informações dadas:
  • O domínio de integração em y é 0\le y\le 2.
  • Para cada y, a integração em x vai de x=y até x=2y.
  • A função a integrar (o integrando) é x + x y^{2}.

Passo 2

Observação sobre a ordem das integrais e como proceder (explicação didática):
  • A integral interior é em relação a x. Isso significa que, ao integrar em x, devemos tratar y como uma constante (pois y não varia dentro dessa integral).
  • Sempre que uma expressão multiplicativa depende somente de y (ou seja, é constante em relação a x), podemos retirá-la para fora da integral em x. Formulando: se g(y) não depende de x, então
\int_{a}^{b} g(y)\,f(x)\,dx = g(y)\int_{a}^{b} f(x)\,dx.
  • Regra prática de integração que usaremos: a regra da potência para primitiva é
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\quad\text{(para \(n\neq-1\))}.
No caso de n=1 isso dá \int x\,dx=\dfrac{x^{2}}{2}.

Passo 3

Calcular a integral interior \displaystyle \int_{y}^{2y} x + x y^{2}\,dx.
Primeiro fatoramos x e o fator que é constante em x:
x + x y^{2} = x(1+y^{2}).
Como 1+y^{2} é constante em relação a x, temos
\int_{y}^{2y} \bigl(x + x y^{2}\bigr)\,dx = (1+y^{2})\int_{y}^{2y} x\,dx.
Agora aplicamos a primitiva de x:
\int_{y}^{2y} x\,dx = \left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{x=y}^{x=2y} = \frac{(2y)^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{2} = \frac{4y^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{2} = \frac{3y^{2}}{2}.
Portanto a integral interior vale
(1+y^{2})\cdot \frac{3y^{2}}{2} = \frac{3}{2}\bigl(y^{2}+y^{4}\bigr).

Passo 4

Agora integramos em y no intervalo de 0 a 2:
\int_{0}^{2}\int_{y}^{2y} x + x y^{2}\,dx\,dy = \int_{0}^{2} \frac{3}{2}\bigl(y^{2}+y^{4}\bigr)\,dy.
Tiramos a constante \dfrac{3}{2} para fora:
\frac{3}{2}\int_{0}^{2}\bigl(y^{2}+y^{4}\bigr)\,dy = \frac{3}{2}\left(\int_{0}^{2} y^{2}\,dy + \int_{0}^{2} y^{4}\,dy\right).
Aplicando a regra da potência:
\int_{0}^{2} y^{2}\,dy = \left.\frac{y^{3}}{3}\right|_{0}^{2} = \frac{2^{3}}{3} = \frac{8}{3},
\int_{0}^{2} y^{4}\,dy = \left.\frac{y^{5}}{5}\right|_{0}^{2} = \frac{2^{5}}{5} = \frac{32}{5}.
Substituindo:
\frac{3}{2}\left(\frac{8}{3} + \frac{32}{5}\right).

Passo 5

Fazer a aritmética fina e simplificar:
\frac{8}{3} + \frac{32}{5} = \frac{8\cdot5}{15} + \frac{32\cdot3}{15} = \frac{40 + 96}{15} = \frac{136}{15}.
Multiplicando pela constante \dfrac{3}{2}:
\frac{3}{2}\cdot\frac{136}{15} = \frac{3\cdot136}{30} = \frac{408}{30}.
Simplificando dividindo por 6:
\frac{408}{30} = \frac{68}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{68}{5}

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