(Valor 20) Encontre a fórmula de recorrência da EDO
(x-1) y^{\prime \prime}+y^{\prime}=0
usando a série de potência em torno do ponto ordinário x=0 :
y=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária
(x-1)y''+y'=0
e pede para encontrar a fórmula de recorrência usando a série de potência em torno de x=0
y=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}.
Informações úteis fornecidas:
  • A solução procurada é uma série de potência centrada em x=0: os coeficientes a_n são arbitrários a priori e serão ligados por uma recorrência.
  • Será necessário calcular y' e y'' a partir da série dada e substituir na EDO.
  • O objetivo final é uma relação que permita obter a_{n+2} em função de coeficientes anteriores.

Passo 2

Relembrando: a derivada termo a termo de uma série de potência é obtida via regra do poder. Se
y=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n},
então
y'=\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{n-1}, \qquad y''=\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_{n} x^{n-2}.
Para somar séries é conveniente reindexar para que todas tenham a mesma potência x^{n}. Reindexando para começar em n=0 com potência x^{n} obtemos:
y'=\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)a_{n+1} x^{n}, \qquad y''=\sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1) a_{n+2} x^{n}.
(Observe que fizemos a mudança n\mapsto n+1 em y' e n\mapsto n+2 em y'' para padronizar os expoentes.)

Passo 3

Agora substituímos y' e y'' na equação (x-1)y''+y'=0. Primeiro calculamos (x-1)y'':
(x-1)y''=x\cdot y''-y''.
Usando a série para y'':
y''=\sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1) a_{n+2} x^{n},
então
x\,y''=\sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1) a_{n+2} x^{n+1}.
Reindexando x\,y'' para ficar em potências x^{n}: faça n\mapsto n-1 (começando em n=1):
x\,y''=\sum_{n=1}^{\infty} n(n+1) a_{n+1} x^{n}.
Agora escrevemos todas as séries com potência x^{n} (podemos estender somas que começam em n=1 para n=0 porque o termo n=0 é zero quando presente):
(x-1)y''+y'=\sum_{n=0}^{\infty} \bigl[n(n+1)a_{n+1}\bigr] x^{n} -\sum_{n=0}^{\infty} \bigl[(n+2)(n+1)a_{n+2}\bigr] x^{n} +\sum_{n=0}^{\infty} \bigl[(n+1)a_{n+1}\bigr] x^{n}.

Passo 4

Agrupando os coeficientes de x^{n} nas três somas obtemos, para todo n\ge 0,
n(n+1)a_{n+1} - (n+2)(n+1)a_{n+2} + (n+1)a_{n+1}=0.
Fatorando (n+1) nos termos que o têm:
(n+1)\bigl[n a_{n+1} + a_{n+1} - (n+2)a_{n+2}\bigr]=0.
Simplificando n a_{n+1}+a_{n+1}=(n+1)a_{n+1}
(n+1)\bigl[(n+1)a_{n+1} - (n+2)a_{n+2}\bigr]=0.
Como (n+1)\neq 0 para n\ge 0, podemos dividir por (n+1) e obter a recorrência simples
(n+1)a_{n+1} - (n+2)a_{n+2}=0.
Isolando a_{n+2},
a_{n+2}=\frac{n+1}{\,n+2\,}\;a_{n+1},\qquad n\ge 0.

Passo 5

Comentário didático e conclusão prática: a recorrência encontrada liga cada coeficiente ao anterior, portanto os dois coeficientes iniciais a_{0} e a_{1} permanecem arbitrários (dois graus de liberdade, como esperado para uma EDO de segunda ordem). Podemos iterar a recorrência para ver o padrão para n\ge 1:
a_{2}=\frac{1}{2}a_{1},\quad a_{3}=\frac{2}{3}a_{2}=\frac{1}{3}a_{1},\quad a_{4}=\frac{3}{4}a_{3}=\frac{1}{4}a_{1},\\ \ldots
Por indução fica claro que, para m\ge 1,
a_{m}=\frac{1}{m}\,a_{1}.
Portanto a solução em série toma a forma
y=a_{0}+a_{1}\sum_{m=1}^{\infty}\frac{x^{m}}{m}=a_{0}-a_{1}\ln(1-x)\quad(|x|<1),
o que confirma que a recorrência está correta e que a solução geral tem duas constantes arbitrárias a_{0} e a_{1}.

Resposta

a_{n+2}=\frac{n+1}{\,n+2\,}\;a_{n+1},\qquad n\ge 0

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