(Valor 20) Encontre a fórmula de recorrência da EDO
usando a série de potência em torno do ponto ordinário
:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária
e pede para encontrar a fórmula de recorrência usando a série de potência em torno de
Informações úteis fornecidas:
- A solução procurada é uma série de potência centrada em
: os coeficientes são arbitrários a priori e serão ligados por uma recorrência. - Será necessário calcular
e a partir da série dada e substituir na EDO. - O objetivo final é uma relação que permita obter
em função de coeficientes anteriores.
Passo 2
Relembrando: a derivada termo a termo de uma série de potência é obtida via regra do poder. Se
então
Para somar séries é conveniente reindexar para que todas tenham a mesma potência
. Reindexando para começar em
com potência
obtemos:
(Observe que fizemos a mudança
em
e
em
para padronizar os expoentes.)
Passo 3
Agora substituímos
e
na equação
. Primeiro calculamos
:
Usando a série para
:
então
Reindexando
para ficar em potências
: faça
(começando em
):
Agora escrevemos todas as séries com potência
(podemos estender somas que começam em
para
porque o termo
é zero quando presente):
Passo 4
Agrupando os coeficientes de
nas três somas obtemos, para todo
,
Fatorando
nos termos que o têm:
Simplificando
dá
Como
para
, podemos dividir por
e obter a recorrência simples
Isolando
,
Passo 5
Comentário didático e conclusão prática: a recorrência encontrada liga cada coeficiente ao anterior, portanto os dois coeficientes iniciais
e
permanecem arbitrários (dois graus de liberdade, como esperado para uma EDO de segunda ordem). Podemos iterar a recorrência para ver o padrão para
:
Por indução fica claro que, para
,
Portanto a solução em série toma a forma
o que confirma que a recorrência está correta e que a solução geral tem duas constantes arbitrárias
e
.