Calcule \int_{0}^{2} \int_{0}^{y} \int_{0}^{y+z}(y-z) d x d z d y
Escolha uma opção:
\frac{8}{3}
\frac{5}{3}
\frac{4}{3}
-\frac{5}{3}
◯ 0

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral tripla
\int_{0}^{2} \int_{0}^{y} \int_{0}^{y+z} (y-z)\, dx\, dz\, dy.
Informações dadas:
  • Limites externos: y varia de 0 a 2.
  • Limites médios: para cada y, z varia de 0 a y.
  • Limites internos: para cada y,z, x varia de 0 a y+z.
  • Integrando: a função integranda é y-z, que depende de y e z, mas não de x.
    O objetivo é obter um número real e escolher dentre as opções fornecidas.

Passo 2

Primeiro passo prático: calcular a integral interna em x. Observação importante (regra usada): se uma função não depende da variável de integração, ela pode ser tratada como constante nessa integração; mais formalmente, para constante c,
\int_{a}^{b} c\, dx = c\,(b-a).
Exemplo rápido para fixar: \int_{0}^{3} 5\,dx = 5\cdot(3-0)=15.
Aplicando isso aqui, como y-z não depende de x,
\int_{0}^{y+z} (y-z)\, dx = (y-z)\cdot (y+z).

Passo 3

Simplificar o produto obtido. Usar a identidade algébrica (a-b)(a+b)=a^2-b^2. Assim,
(y-z)(y+z)=y^2 - z^2.
Portanto a integral tripla reduz-se a uma dupla:
\int_{0}^{2}\int_{0}^{y} \bigl(y^2 - z^2\bigr)\, dz\, dy.

Passo 4

Agora integramos em z. Lembrete: ao integrar em z, y é constante (porque estamos integrando primeiro em z mantendo y fixo). Antiderivadas úteis:
\int y^2\,dz = y^2 z,\qquad \int z^2\,dz = \frac{z^3}{3}.
Aplicando:
\int_{0}^{y} \bigl(y^2 - z^2\bigr)\, dz = \bigl[y^2 z - \tfrac{z^3}{3}\bigr]_{0}^{y} = y^2\cdot y - \tfrac{y^3}{3} = y^3 - \tfrac{y^3}{3}.
Simplificando:
y^3 - \tfrac{y^3}{3} = \tfrac{2}{3}y^3.

Passo 5

Falta integrar em y de 0 a 2:
\int_{0}^{2} \tfrac{2}{3}y^3\, dy = \tfrac{2}{3}\int_{0}^{2} y^3\, dy.
Antiderivada de y^3 é \tfrac{y^4}{4}. Então
\tfrac{2}{3}\cdot \left[\tfrac{y^4}{4}\right]_{0}^{2} = \tfrac{2}{3}\cdot \frac{2^4}{4} = \tfrac{2}{3}\cdot \frac{16}{4}.
Calcule passo a passo:
\frac{16}{4}=4,\qquad \tfrac{2}{3}\cdot 4 = \tfrac{8}{3}.

Passo 6

Conclusão: a integral vale \tfrac{8}{3}. Vou anotar isso na forma final pedida.

Resposta

\dfrac{8}{3}

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