Calcule o limite, se existir.
\lim _{x \rightarrow 3^{+}} \frac{x+2}{x-3}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x \rightarrow 3^{+}} \frac{x+2}{x-3}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função a analisar é \dfrac{x+2}{x-3}.
  • O ponto de interesse é x=3 e o limite é unidirecional pela direita, ou seja x \to 3^{+} (valores de x maiores que 3 que se aproximam de 3).
  • Observação: a expressão não está definida em x=3 pois o denominador x-3 se anula aí.

Passo 2

Entender o que significa x \to 3^{+}. Isso quer dizer que x toma valores maiores que 3 e se aproxima de 3. Em particular, para x suficientemente próximo de 3 pela direita teremos
x-3>0
e \,x-3 é um número positivo pequeno (tende a 0 por valores positivos).

Passo 3

Analisar o comportamento do numerador e do denominador separadamente (propriedade básica de limites que permite considerar cada peça quando elas têm limites):
  • Numerador:
\lim_{x\to 3^{+}}(x+2)=3+2=5,
pois somas de funções contínuas avaliam-se substituindo o ponto.
  • Denominador:
\lim_{x\to 3^{+}}(x-3)=0^{+},
ou seja, o denominador tende a zero por valores positivos (escrevemos 0^{+} para indicar que aproxima-se de zero vindo de valores maiores que zero).

Passo 4

Fazer análise de sinal e de ordem de magnitude do quociente. Perto de x=3 pela direita temos:
  • O numerador é próximo de 5 e, portanto, positivo.
  • O denominador é um número positivo cada vez mais pequeno.
Quando um número positivo fixo (próximo de 5) é dividido por um número positivo que tende a zero, o quociente cresce sem limite positivo. Para visualizar, considere valores numéricos: se x=3{,}1 então
\frac{x+2}{x-3}=\frac{3{,}1+2}{3{,}1-3}=\frac{5{,}1}{0{,}1}=51,
se x=3{,}01 então \dfrac{5{,}01}{0{,}01}=501, e assim por diante — os valores ficam maiores e maiores.

Passo 5

Concluir o comportamento do limite. Pelo raciocínio anterior, a expressão tende a crescer sem bound positivo quando x se aproxima de 3 pela direita. Em linguagem de limites escrevemos que o limite é +\infty. Isso significa que o limite não existe como número real finito, mas diverge para mais infinito.

Resposta

+\infty

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