Calcule o limite, se existir.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações relevantes fornecidas:
- A função a analisar é
. - O ponto de interesse é
e o limite é unidirecional pela direita, ou seja (valores de maiores que que se aproximam de ). - Observação: a expressão não está definida em
pois o denominador se anula aí.
Passo 2
Entender o que significa
. Isso quer dizer que
toma valores maiores que
e se aproxima de
. Em particular, para
suficientemente próximo de
pela direita teremos
e
é um número positivo pequeno (tende a
por valores positivos).
Passo 3
Analisar o comportamento do numerador e do denominador separadamente (propriedade básica de limites que permite considerar cada peça quando elas têm limites):
- Numerador:
pois somas de funções contínuas avaliam-se substituindo o ponto.
- Denominador:
ou seja, o denominador tende a zero por valores positivos (escrevemos
para indicar que aproxima-se de zero vindo de valores maiores que zero).
Passo 4
Fazer análise de sinal e de ordem de magnitude do quociente. Perto de
pela direita temos:
- O numerador é próximo de
e, portanto, positivo. - O denominador é um número positivo cada vez mais pequeno.
Quando um número positivo fixo (próximo de
) é dividido por um número positivo que tende a zero, o quociente cresce sem limite positivo. Para visualizar, considere valores numéricos: se
então
se
então
, e assim por diante — os valores ficam maiores e maiores.
Passo 5
Concluir o comportamento do limite. Pelo raciocínio anterior, a expressão tende a crescer sem bound positivo quando
se aproxima de
pela direita. Em linguagem de limites escrevemos que o limite é
. Isso significa que o limite não existe como número real finito, mas diverge para mais infinito.