Calcule \iint_{R} \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} d A onde R é a região do plano no interior do círculo x^{2}+y^{2}-2 x=0 e no exterior do círculo x^{2}+y^{2}=1
Sugestão: use coordenadas polares
Escolha uma opção:
2 \sqrt{3}-\frac{2 \pi}{3}
2-\frac{\pi}{3}
1-\frac{\pi}{6}
\frac{2 \pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}
\frac{1}{2}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • O integrando é \dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
  • A região R é composta pelos pontos que estão no interior do círculo x^{2}+y^{2}-2x=0e ao mesmo tempo no exterior do círculo x^{2}+y^{2}=1.
  • O enunciado sugere usar coordenadas polares. A tarefa é calcular \iint_{R} \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\,dA.
Informações extras úteis que podemos extrair das equações dos círculos (sem resolver ainda):
  • O círculo x^{2}+y^{2}-2x=0 é o círculo com centro em (1,0) e raio 1, porque x^{2}-2x+y^{2}=(x-1)^{2}+y^{2}-1=0 \Rightarrow (x-1)^{2}+y^{2}=1.
  • O outro círculo x^{2}+y^{2}=1 é o círculo centrado na origem com raio 1.

Passo 2

Troca para coordenadas polares — explicando a ideia e as fórmulas.
  • Em coordenadas polares definimos x=r\cos\theta, y=r\sin\theta com r\ge0 e \theta ângulo medido a partir do eixo x.
  • A expressão x^{2}+y^{2} vira \,r^{2}\,.
  • O elemento de área dA em coordenadas polares vale \,r\,dr\,d\theta. Explicando por que: ao aproximar uma pequena faixa radial dr e angular d\theta, a pequena área é aproximadamente um setor circular de área r\,d\theta\cdot dr.
  • O integrando \dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} vira \dfrac{1}{\sqrt{r^{2}}}=\dfrac{1}{r} (para r>0). Multiplicando pelo Jacobiano r obtemos \dfrac{1}{r}\cdot r=1. Ou seja, em coordenadas polares o integrando simplifica muito: passa a ser 1.
Portanto a integral de área com esse integrando reduz-se simplesmente à área da região R expressa no domínio (r,\theta).

Passo 3

Descrever a região R em coordenadas polares (achar os limites de r e \theta).
  • A condição de exterior do círculo x^{2}+y^{2}=1 é r\ge 1.
  • A condição de interior do círculo centrado em (1,0) com raio 1, isto é (x-1)^{2}+y^{2}\le 1, em polares é: (r\cos\theta-1)^{2} + (r\sin\theta)^{2} \le 1.Desenvolvendo: r^{2}\cos^{2}\theta -2r\cos\theta +1 + r^{2}\sin^{2}\theta \le 1.Como \cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta=1 isso simplifica para r^{2} - 2r\cos\theta +1 \le 1 \quad\Longrightarrow\quad r^{2}-2r\cos\theta \le 0.Fatorando r (e lembrando que r\ge0): r(r-2\cos\theta)\le 0 \quad\Longrightarrow\quad 0\le r \le 2\cos\theta.
  • Combinando com a condição r\ge 1 (externo ao círculo de raio 1), para um dado \theta temos 1 \le r \le 2\cos\theta.Isso só faz sentido quando 2\cos\theta \ge 1, isto é \cos\theta \ge \tfrac{1}{2}.
  • A desigualdade \cos\theta \ge \tfrac{1}{2} corresponde ao intervalo angular -\tfrac{\pi}{3} \le \theta \le \tfrac{\pi}{3},porque \cos(\pm \tfrac{\pi}{3})=\tfrac{1}{2} e para ângulos entre -\tfrac{\pi}{3} e \tfrac{\pi}{3} o cosseno é maior ou igual a \tfrac{1}{2}.
Resumo do domínio em polares (pegamos os limites a partir das expressões polares acima):
  • \theta varia de -\tfrac{\pi}{3} até \tfrac{\pi}{3}.
  • Para cada \theta desse intervalo, r varia de 1 até 2\cos\theta.

Passo 4

Montar a integral em coordenadas polares usando que o integrando se tornou 1.
A integral fica
\iint_{R}\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\,dA =\int_{\theta=-\pi/3}^{\pi/3}\int_{r=1}^{2\cos\theta} 1 \; dr\,d\theta.

Passo 5

Calcular a integral passo a passo.
  • Integração em r: \int_{r=1}^{2\cos\theta} 1 \; dr = \bigl[r\bigr]_{1}^{2\cos\theta} = 2\cos\theta - 1.
  • Agora integrar em \theta: \int_{-\pi/3}^{\pi/3} \bigl(2\cos\theta - 1\bigr)\,d\theta = 2\int_{-\pi/3}^{\pi/3}\cos\theta\,d\theta - \int_{-\pi/3}^{\pi/3} 1\,d\theta.
  • Calcule cada parte: 2\int_{-\pi/3}^{\pi/3}\cos\theta\,d\theta = 2\bigl[\sin\theta\bigr]_{-\pi/3}^{\pi/3} = 2\bigl(\sin(\tfrac{\pi}{3}) - \sin(-\tfrac{\pi}{3})\bigr).Sabendo que \sin(\tfrac{\pi}{3})=\tfrac{\sqrt{3}}{2} e \sin(-\tfrac{\pi}{3})=-\tfrac{\sqrt{3}}{2}, isso dá 2\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2} - (-\tfrac{\sqrt{3}}{2})\bigr) = 2\cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}.A segunda parte é \int_{-\pi/3}^{\pi/3} 1\,d\theta = \left.\theta\right|_{-\pi/3}^{\pi/3} = \frac{2\pi}{3}.
  • Subtraindo: 2\sqrt{3} - \frac{2\pi}{3}.

Passo 6

Interpretação final curta e incentivo: a integral ficou simples porque o integrando em polares reduziu para 1, então a integral é apenas a área da região em coordenadas polares com os limites que achamos — resultado elegante! Força, você já tem a técnica: transformar integrando e Jacobiano pode simplificar muito.

Resposta

2\sqrt{3}-\dfrac{2\pi}{3}

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