Calcule
onde
é a região do plano no interior do círculo
e no exterior do círculo
Sugestão: use coordenadas polares
Escolha uma opção:
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Sugestão: use coordenadas polares
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Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
- O integrando é
. - A região
é composta pelos pontos que estão no interior do círculo e ao mesmo tempo no exterior do círculo - O enunciado sugere usar coordenadas polares. A tarefa é calcular
Informações extras úteis que podemos extrair das equações dos círculos (sem resolver ainda):
- O círculo
é o círculo com centro em e raio , porque - O outro círculo
é o círculo centrado na origem com raio .
Passo 2
Troca para coordenadas polares — explicando a ideia e as fórmulas.
- Em coordenadas polares definimos
, com e ângulo medido a partir do eixo . - A expressão
vira . - O elemento de área
em coordenadas polares vale . Explicando por que: ao aproximar uma pequena faixa radial e angular , a pequena área é aproximadamente um setor circular de área . - O integrando
vira (para ). Multiplicando pelo Jacobiano obtemos . Ou seja, em coordenadas polares o integrando simplifica muito: passa a ser .
Portanto a integral de área com esse integrando reduz-se simplesmente à área da região
expressa no domínio
.
Passo 3
Descrever a região
em coordenadas polares (achar os limites de
e
).
- A condição de exterior do círculo
é . - A condição de interior do círculo centrado em
com raio , isto é , em polares é: Desenvolvendo: Como isso simplifica para Fatorando (e lembrando que ): - Combinando com a condição
(externo ao círculo de raio 1), para um dado temos Isso só faz sentido quando , isto é . - A desigualdade
corresponde ao intervalo angular porque e para ângulos entre e o cosseno é maior ou igual a .
Resumo do domínio em polares (pegamos os limites a partir das expressões polares acima):
-
varia de até . - Para cada
desse intervalo, varia de até .
Passo 4
Montar a integral em coordenadas polares usando que o integrando se tornou
.
A integral fica
Passo 5
Calcular a integral passo a passo.
- Integração em
: - Agora integrar em
: - Calcule cada parte:
Sabendo que e , isso dá A segunda parte é - Subtraindo:
Passo 6
Interpretação final curta e incentivo: a integral ficou simples porque o integrando em polares reduziu para
, então a integral é apenas a área da região em coordenadas polares com os limites que achamos — resultado elegante! Força, você já tem a técnica: transformar integrando e Jacobiano pode simplificar muito.