Exercício 4. Resolva os seguintes Problemas de Valores Iniciais (PVI):
com
e
.
Passo 1
O enunciado pede que se encontre a função
que satisfaz o problema de valores iniciais dado por:
- Equação diferencial:
. - Condições iniciais:
e .
Portanto, o objetivo é determinar uma função
definida para
real que verifique a equação diferencial e, além disso, atenda simultaneamente às duas condições iniciais indicadas.
Passo 2
Vamos procurar funções simples cuja derivada continua a ser da mesma forma, porque a equação mistura
e
de maneira linear. Uma família natural de funções com essa propriedade é a das exponenciais
, onde
é um número (possivelmente complexo). A ideia é testar essa forma na equação, porque derivadas de exponenciais apenas multiplicam por constantes:
Substituindo na equação
obtemos uma condição sobre
.
Passo 3
Substituindo
em
e dividindo por
(que nunca é zero), temos:
Essa é a equação característica. Resolvendo-a,
onde
é a unidade imaginária (
). As raízes são complexas conjugadas. Agora é preciso transformar essa informação em soluções reais.
Uma ferramenta que liga exponenciais complexas a funções reais é a fórmula de Euler:
Dessa fórmula segue que as partes real e imaginária de
são
e
. Assim, a partir das soluções
e
podemos formar duas soluções reais independentes:
e
.
Passo 4
Logo, a solução geral real da equação homogênea de segunda ordem é a combinação linear das duas soluções independentes
e
:
onde
e
são constantes reais a determinar pelas condições iniciais. Aqui
e
representam os coeficientes livres na combinação linear — na prática, valores que ajustam a solução geral para satisfazer as condições dadas.
Passo 5
Calcule a derivada dessa expressão para usar a condição sobre
:
Mostrei passo a passo: derivada de
é
e derivada de
é
; as constantes
são multiplicativas e saem intactas.
Passo 6
Aplique as condições iniciais em
.
Usando
:
Portanto
Usando
:
Portanto
Passo 7
Substituindo
e
na solução geral obtemos a solução particular que satisfaz as condições iniciais:
Uma observação rápida de garantia: para equações lineares com coeficientes contínuos, existe e é única a solução que satisfaz condições iniciais dadas — portanto
é a única função que resolve o problema.