Exercício 4. Resolva os seguintes Problemas de Valores Iniciais (PVI):
y^{\prime \prime}+y=0 com y(0)=1 e y^{\prime}(0)=0.

Passo 1

O enunciado pede que se encontre a função y(x) que satisfaz o problema de valores iniciais dado por:
  • Equação diferencial: \;y''+y=0\;.
  • Condições iniciais: \;y(0)=1\; e \;y'(0)=0\;.
Portanto, o objetivo é determinar uma função y(x) definida para x real que verifique a equação diferencial e, além disso, atenda simultaneamente às duas condições iniciais indicadas.

Passo 2

Vamos procurar funções simples cuja derivada continua a ser da mesma forma, porque a equação mistura y e y'' de maneira linear. Uma família natural de funções com essa propriedade é a das exponenciais \;y(x)=e^{r x}\;, onde r é um número (possivelmente complexo). A ideia é testar essa forma na equação, porque derivadas de exponenciais apenas multiplicam por constantes:
\text{Se }y(x)=e^{r x}\quad\text{então}\quad y'(x)=r e^{r x},\quad y''(x)=r^2 e^{r x}.ã
Substituindo na equação \;y''+y=0\; obtemos uma condição sobre r.

Passo 3

Substituindo y=e^{r x} em \;y''+y=0\; e dividindo por e^{r x} (que nunca é zero), temos:
r^2+1=0.
Essa é a equação característica. Resolvendo-a,
r^2=-1\quad\Rightarrow\quad r=\pm i,
onde i é a unidade imaginária ( i^2=-1). As raízes são complexas conjugadas. Agora é preciso transformar essa informação em soluções reais.
Uma ferramenta que liga exponenciais complexas a funções reais é a fórmula de Euler:
e^{i x}=\cos x + i\sin x.
Dessa fórmula segue que as partes real e imaginária de e^{i x} são \cos x e \sin x. Assim, a partir das soluções e^{i x} e e^{-i x} podemos formar duas soluções reais independentes: \cos x e \sin x.

Passo 4

Logo, a solução geral real da equação homogênea de segunda ordem é a combinação linear das duas soluções independentes \cos x e \sin x:
y(x)=C_{1}\cos x + C_{2}\sin x,
onde C_{1} e C_{2} são constantes reais a determinar pelas condições iniciais. Aqui C_{1} e C_{2} representam os coeficientes livres na combinação linear — na prática, valores que ajustam a solução geral para satisfazer as condições dadas.

Passo 5

Calcule a derivada dessa expressão para usar a condição sobre y':
y'(x) = -C_{1}\sin x + C_{2}\cos x.
Mostrei passo a passo: derivada de \cos x é -\sin x e derivada de \sin x é \cos x; as constantes C_{1},C_{2} são multiplicativas e saem intactas.

Passo 6

Aplique as condições iniciais em x=0.
Usando \;y(0)=1\;:
y(0)=C_{1}\cos 0 + C_{2}\sin 0 = C_{1}\cdot 1 + C_{2}\cdot 0 = C_{1}.
Portanto
C_{1}=1.
Usando \;y'(0)=0\;:
y'(0) = -C_{1}\sin 0 + C_{2}\cos 0 = -C_{1}\cdot 0 + C_{2}\cdot 1 = C_{2}.
Portanto
C_{2}=0.

Passo 7

Substituindo C_{1}=1 e C_{2}=0 na solução geral obtemos a solução particular que satisfaz as condições iniciais:
y(x)=\cos x.
Uma observação rápida de garantia: para equações lineares com coeficientes contínuos, existe e é única a solução que satisfaz condições iniciais dadas — portanto \cos x é a única função que resolve o problema.

Resposta

y(x)=\cos x

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