Calcule a integra , usando:
(a) uma substituição hiperbólica conveniente;
(b) uma substituição trigonométrica conveniente;
(c) uma substituição simples.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
usando três técnicas de substituição: (a) hiperbólica, (b) trigonométrica e (c) uma substituição simples. Para isso precisamos reconhecer que, com a substituição , a integral se reduz a
e então aplicar as três variantes de substituição para esse tipo de integral.
Passo 2
Método (a): substituição hiperbólica. Começamos com
Logo
Usando obtemos
Como , isto é
Voltando a : de temos e , . Assim
Por fim, voltando a com ,
Passo 3
Método (b): substituição trigonométrica. Partimos de
Então
Sabemos que
logo
Em termos de u: tantheta=u/2, sectheta=raiz1+tan^2theta=raizu^2+4/2. Assim