Calcule a integra integral e^x raiz4+e^2 x d x, usando:
(a) uma substituição hiperbólica conveniente;
(b) uma substituição trigonométrica conveniente;
(c) uma substituição simples.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral e^xraiz4+e^2x,dx
usando três técnicas de substituição: (a) hiperbólica, (b) trigonométrica e (c) uma substituição simples. Para isso precisamos reconhecer que, com a substituição u=e^x, a integral se reduz a
integral raizu^2+4,du,
e então aplicar as três variantes de substituição para esse tipo de integral.

Passo 2

Método (a): substituição hiperbólica. Começamos com
u=2sinh t Longrightarrow du=2cosh t,dt, raizu^2+4=2cosh t
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integral raizu^2+4,du =integral (2cosh t),(2cosh t,dt) =4integral cosh^2t,dt
Usando cosh^2t=tfrac12(1+cosh2t) obtemos
4integral cosh^2t,dt =4integral tfrac12(1+cosh2t),dt =2l(t+tfrac12sinh2tr)+C
Como sinh2t=2sinh tcosh t, isto é
2l(t+sinh tcosh tr)+C
Voltando a u: de u=2sinh t temos t=arsinh(u/2) e sinh t=u/2, cosh t=raiz1+sinh^2t=tfracraizu^2+42. Assim
integral raizu^2+4,du =2,arsinh!l(tfrac u2r) +tfracu2raizu^2+4+C
Por fim, voltando a x com u=e^x,
integral e^xraiz4+e^2x,dx =e^x2raize^2x+4 +2,arsinh!l(tfrace^x2r) +C

Passo 3

Método (b): substituição trigonométrica. Partimos de
u=2tantheta Longrightarrow du=2sec^2theta,dtheta, raizu^2+4=2sectheta
Então
integral raizu^2+4,du =integral (2sectheta)(2sec^2theta,dtheta) =4integral sec^3theta,dtheta
Sabemos que
integral sec^3theta,dtheta =12l(secthetatantheta+ln|sectheta+tantheta|r)+C,
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4integral sec^3theta,dtheta =2secthetatantheta +2lnl|sectheta+tanthetar|+C
Em termos de u: tantheta=u/2, sectheta=raiz1+tan^2theta=raizu^2+4/2. Assim
2secthetatantheta =uraizu^2+42, 2ln|sectheta+tantheta| =2ln!l|tfracraizu^2+4+u2r| =2ln!l(u+raizu^2+4r)+C',
o que reconduz ao mesmo resultado
integral raizu^2+4,du =u2raizu^2+4 +2ln!l(u+raizu^2+4r)+C
Substituindo u=e^x volta-se à mesma forma em x.

Passo 4

Método (c): substituição simples. Basta tomar
u=e^x Longrightarrow du=e^x,dx,
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integral e^xraiz4+e^2x,dx =integral raizu^2+4,du
E então usar a fórmula padrão
integral raizu^2+a^2,du =u2raizu^2+a^2 +a^22ln!l(u+raizu^2+a^2r) +C,
com a=2. Isso dá
integral raizu^2+4,du =u2raizu^2+4 +2ln!l(u+raizu^2+4r)+C,
e voltando a x,
integral e^xraiz4+e^2x,dx =e^x2raize^2x+4 +2ln!l(e^x+raize^2x+4r) +C

Resposta

(a) e^x2raize^2x+4 +2,arsinh!l(tfrace^x2r)+C
(b) e^x2raize^2x+4 +2ln!l(e^x+raize^2x+4r)+C
(c) e^x2raize^2x+4 +2ln!l(e^x+raize^2x+4r)+C

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