Desenhe as curvas de nível e esboce o gráfico da função:
z=f(x, y)=6-2 x-3 y

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as curvas de nível de f(x,y)=6-2x-3y e em seguida esboçar o gráfico dessa função, que é um plano no espaço. Vamos usar a definição de curva de nível (fixar z=k) para obter uma família de retas no plano xy, e depois determinar os pontos de interseção do plano com os eixos coordenados para esboçar seu gráfico 3D.

Passo 2

Uma curva de nível corresponde a um valor constante k, tal que
f(x,y)=k Longrightarrow 6-2x-3y=k
ou seja
2x+3y=6-k
Cada k dá uma reta no plano xy com coeficiente angular -tfrac23.

Passo 3

Para esboçar essas retas, note que seus interceptos são
quando x=0:
y=6-k3,
e quando y=0:
x=6-k2
Por exemplo:
  • Para k=0 a reta é 2x+3y=6.
  • Para k=3 a reta é 2x+3y=3.
  • Para k=6 a reta é 2x+3y=0.
    No esboço no plano xy desenhe algumas dessas retas paralelas, igualmente espaçadas conforme a variação de k.

Passo 4

O gráfico de z=6-2x-3y é um plano. Seus três interceptos principais são
quando x=0 e y=0:
z=6ponto (0,0,6),
quando y=0 e z=0:
0=6-2x Longrightarrow x=3ponto (3,0,0),
quando x=0 e z=0:
0=6-3y Longrightarrow y=2ponto (0,2,0)
Bastam esses três pontos para traçar o triângulo formador da face do plano e completar o esboço, indicando os eixos x, y e z.

Resposta

Curvas de nível: família de retas
2x+3y=6-k, kinR,
todas com coeficiente angular -tfrac23 e interceptos l(tfrac6-k2,0r), l(0,tfrac6-k3r).
Gráfico 3D: plano passando por (0,0,6), (3,0,0) e (0,2,0).

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