1. Uma caixa retangular sem tampa deve ter 32 m^3 de volume. Determine suas dimensões de modo que sua área total seja mínima.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as dimensões x, y, z de uma caixa retangular sem tampa com volume fixo de 32,m ^3, de modo que a área total seja mínima. O conteúdo envolve otimização com restrição, que podemos resolver expressando uma variável em função de duas e minimizando a área.

Passo 2

Definimos:
V = xyz = 32,
A = área total = underbracexybase + underbrace2xz + 2yzlados á
Como não há tampa, não contamos a face superior.

Passo 3

Usamos a restrição xyz=32 para isolar z:
z = 32xy
Substituindo em A:
A(x,y) = xy + 2xl(32xyr) + 2yl(32xyr) = xy + 64y + 64x

Passo 4

Para encontrar o mínimo, igualamos a zero as derivadas parciais:
partial Apartial x = y - 64x^2 = 0 Rightarrow y = 64x^2,
partial Apartial y = x - 64y^2 = 0 Rightarrow x = 64y^2
Dessas duas equações segue x = y. Substituindo em y = 64/x^2
x = 64x^2 Rightarrow x^3 = 64 Rightarrow x = 4
Logo y = 4.

Passo 5

Com x=y=4, obtemos z pela restrição:
z = 32xy = 324cdot4 = 2
Verificamos que essa escolha produz um mínimo (segunda derivada positiva no ponto crítico).

Resposta

As dimensões que minimizam a área são
4,m times 4,m de base e 2,m de altura.

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